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Physik

Äußere Gestalt der Kerne

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Trüget doch oft der Schein! Ich mag dem Äußeren nicht trauen. - Goethe

EinleitungBearbeiten

Zur Untersuchung der Kernstruktur eignet sich die Elektronenstreuung am besten, so spielt zum einen die Struktur der gestreuten Teilchen keine Rolle und außerdem kann bis zu sehr hohen Energien der Rückstoß vernachlässigt werden. Hinzu kommt, dass die Streuung von Elektronen im Gegensatz z.B. zur Streuung von \alpha -Teilchen, auf der Coulomb Wechselwirkung beruht, die sehr gut verstanden wird.

Für die Rechnungen mit den Hochrelativistischen Teilchen werden Vierervektoren benutzt, d.h.

x=(ct,x,y,z)=(x_0, \vec x)
p=(E/c,p_x,p_y,p_z)=(p_0,\vec p)

Das quadrat des Viererimpulses ist Lorentzinvariant

p^2=mc^2,

und proportional der invarianten Masse m. Dies ist verständlich, da sich immer ein Inertialsystem finden lässt, in dem fürden Dreierimpuls \vec p = 0 gilt.

Bei der Streuung eines Elektrons mit Energie E an einem ruhenden Kern der Masse M findet man für unter Zuhilfenahme der Erhaltungssätze für den Viererimpuls (Herleitung nicht kompliziert, aus p_{e^-}\cdot P_{Kern}) für die Energie E'des gestreuten Elektrons

E'=\frac{E}{1+E/(Mc^2)\cdot\left(1-\cos\theta\right)}

Der auf das Target übertragene Rückstoß E-E' ist also für E\ll Mc^2 vernachlässigbar, anders gesagt erst wenn die Elektronenenergie in der Größenordnung der Kernruheenergie ist, muss Rückstoß berücksichtigt werden.

WQ für Elektronenstreuung an einer ausgedehnten LadungsverteilungBearbeiten

Wir wollen diesen Ausdruck im Falle relativistischer spintragender Dazu gehen wir schrittweise vor und vernachlässigen zunächst den Spin und die Ausdehnung des streuenden Objektes. Dies führt uns auf den Rutherford Wirkungsquerschnitt (folge dem Link für die Herleitung und Details)

\sigma_{Rutherford}= \frac{(Z\alpha^2)^2}{(4\pi\varepsilon_0)^24E^2\sin^4\theta/2}.

Mott WQBearbeiten

Beachten wir nun den Spin des gestreuten Teilchens, so muss der Rutherford WQ modifiziert werden.

\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Mott}^*=\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Rutherford}\left(1-\beta^2\sin^2\frac\theta 2 \right)

Der Stern bedeutet, dass der Rückstoß nicht berücksichtigt wird. Im Grenzfall von \beta\rightarrow 1 (\Rightarrow \ (1-\beta^2\sin^2\theta/2)\rightarrow\cos^2\theta/2) lässt sich diese Ergänzung gut einsehen, wenn für ein relativistisches Teilchen die Helizität, das ist die Projektion des Spins auf die Bewegungsrichtung, zur Erhaltungsgröße wird. Dies ist der Fall, weil für ein Teilchen mit v=c kein Bezugssystem existiert, für das sich das Teilchen in die andere Richtung bewegt, sich also der Impuls umdreht, aber die Spinrichtung bleibt. Kann der Spin des gestreuten Teilchens nun nicht mit einem Spin im Target wechselwirken (dies ist Bedingung für die obige Formel), so müsste es bei einer Streuung um \pi seine Helizität ändern. Weil dies nicht möglich ist, ist im hochrelativistischen Fall die \pi -Streuung stark unterdrückt. Für spintragende Targets muss diese Formel wieder modifiziert werden.

Formfaktoren der KerneBearbeiten

Wegen der räumlichen Ausdehnung der Kerne stimmen für hohe Impulsüberträge \lVert \vec q \rVert, also sobald der Kern besser als als "Punkt" aufgelöst werden kann, die experimentellen Befunde nicht mehr mit dem Mott WQ überein.

Berücksichtigen wir die Ausdehnung der Ladungsverteilung in der Herleitung des Rutherford WQ, so erhalten wir einen zusätzlichen Faktor \lVert F(\vec q)\rVert^2, das Betragsquadrat des Formfaktors zusätzlich im WQ. Dieser Faktor lässt sich also experimentell durch Vergleich mit dem theoretisch berechneten Mott WQ bestimmen

\lVert F(\vec q)\rVert^2 = \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{exp}/\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{Mott}^*

Theoretisch könnte man durch Fourier(rück)transofrmation von den Formfaktoren wieder auf die Ladungsverteilung kommen. Dazu wäre allerdings eine Messung über alle \lVert \vec q\rVert notwendig und selbst dann hätte man nur das Betragsquadrat aus den Messungen, aus dem Phaseninformationen nicht ablesbar sind. Statt dessen wählt man eine Parametrisierung für f(x), berechnet daraus F(\vec q) und optimiert die Parameter, bis dieses rechnerische Ergebnis dem experimentellen möglichst nahe kommt.

Für spezielle Ladungsverteilungen kann man den Formfaktor analytisch berechnen.

\rho (r) \lVert F(\vec q)\rVert^2 Beispiel
punktförmig konstant Elektron
exponentiell Dipol Proton
gaußförmig gaußförmig {}^6Li
homogene Kugel oszillierend -
diffuse Kugel oszillierend {}^{40}Ca

Minima in den Formfaktoren (bei oszillierenden Formfaktoren) sind Beugungseffekte und lassen Rückschlüsse auf den Radius des Kerns zu. So ergibt sich für die homogene Kugel mit Radius R , dass für das erste Minimum gilt

\frac{\lVert \vec q\rVert R}{\hbar}\approx 4,5

Die Messungen ergaben allerdings, dass die Kerne keineswegs Kugeln mit schrft begrenzter Oberfläche sind, viel eher lässt sich ihre Ladungsverteilung durch die Fermiverteilung mit zwei freien Parametern beschreiben

\rho(r)=\frac{\rho(0)}{1+e^{(r-c)/a}}.

Hier ist c der Radius bei dem die Ladungsdichte auf die Hälfte abgefallen ist. Experimentell ergibt sich

c=1,07 fm\cdot A^{\frac 1 3}, \quad a=0,54 fm

wodurch man für den mittleren quadratischen Radius

\langle r^2\rangle^{\frac 1 2}= r_0 A^{\frac 1 3}, \quad r_0=0,94 fm

erhält. Diese Formeln sind jeweils für mittlere und große Kerne gültig, für leichte Kerne ist die Näherung der Fermiverteilung nicht gut, wie man aus der Tabelle an den Beispielen des Lithiumkerns und des Protons.

Für manche Zwecke nimmt man den Kern dennoch als homogen geladene Kugel an, man gibt dan als Radius

R^2=\frac 5 3 \langle r^2\rangle

an. Diese Größe geht beispielsweise in die Weizsäcker Massen-Formel ein.

Betrachtet man schwere Kerne, so findet man, dass die Ldungsdichte zum Zentrum hin leicht abnimmt. Dies liegt natürlich an den Neutronen, die diese Kerne beinhalten. Skaliert man die die Ladungsdichte mit A/Z, so erhält man für alle Kerne eine homogene Ladungsdichte im Kerninneren von

\rho_N\approx0,17\ \rm{Nukleonen}/fm^3.

Von entscheidender Bedeutung ist noch die Hautdicke t der Kerne, dies ist die Länge des Radius, auf dem die Ladunsverteilung von 90% auf 10% absinkt. Sie ist für alle Kerne konstant

t=2a\cdot \ln 9\approx 2,4 fm.

Inelastische KernanregungBearbeiten

Berücksichtigt man bei den Messungen auch Elektronen, die bei anderen Energien als der Einfallsenergie gestreut wurden, so findet man Resonanzen, die von angeregten Kernniveaus stammen.

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