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"Zum Lügen gehören immer zwei, einer der lügt und einer der es glaubt" - Homer Simpson

nützliche KonstantenBearbeiten

  • $ h = 6,6\cdot 10^{-34}J\cdot s = 4,1\cdot 10^{-15}eV $
  • $ \hbar c \approx 200 MeV \cdot fm $
  • $ hc \approx 2 \cdot 10^{-25} J \cdot m $
  • Bohrradius $ a_0 = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{m_{\mathrm{e}} e^2}}=\frac{\hbar c}{\alpha m c^2} \approx \frac{200 MeV \cdot fm}{1/137 \cdot 0.511MeV }=0.5 \cdot 10^5 fm $
  • Umrechnung Energie → Wellenzahl (für Spektroskopienotation): $ k=\frac{E}{hc} $
  • $ \alpha=\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \hbar c}\approx 1/137 $
  • $ m_{Proton} \approx m_{Neutron} \approx 940 MeV/c^2 \approx 1840 m_e $
  • $ m_e=511 keV/c^2 $
  • Bohr'sches Magneton $ \frac{e \hbar}{2 m_e} $
  • Magneton von Teilchen Masse m, Ladung $ q\,. $: $ \mu = \frac{q\,\hbar}{2\,m} $$ m $
  • Larmorfrequenz $ \nu=B \dot \mu g /\hbar $, g: Landefaktor, $ \mu $: Magneton

AbschätzungenBearbeiten

AtomphysikBearbeiten

  • Reduzierte Masse $ \mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} $ ist beim Wasserstoff $ \mu \approx m_e $ und beim Positronium $ \mu =\frac{m_e}{2} $

$ E[eV]\approx 4\cdot 10^{-15}\cdot\nu [Hz] \qquad \Leftrightarrow \qquad \nu [Hz]\approx \frac{E[eV]}{4\cdot 10^{-15}} $

$ E[eV]\approx \frac{1230}{\lambda [nm]}\qquad \Leftrightarrow \qquad \lambda [nm]\approx\frac{1230}{E[eV]} $

Bsp: $ E=2eV\quad \Rightarrow \quad \lambda\approx 600nm $ , das passt ziemlich gut

  • Wieviel wiegt 1 l Luft? O2: 32g/mol. Vol(1 mol)=22,4l. Daher hat ein Liter 32g/22,4=1,5g.
  • Welche Freiheitsgrade sind bei Zimmertemperatur angeregt?

Schwingungsniveuas im Infrarotbereich, dh ~5THz, was ~0,02 eV entspricht. Dies ist die Größenordnung von kT~1/40 eV, weswegen die Schwingungsniveuas nicht (kontinuierlich) angeregt werden.

Rotationsniveaus im Mikrowellenbereich, dh ~1GHz, was ~10^-6 eV entspricht. Dies ist viel kleiner als kT~1/40 eV, weswegen die Rotationsniveaus (kontinuierlich) angeregt werden können.

  • Der Bohr'sche Radius ist ganz einfach gegeben durch die Comptonwellenlänge durch $ 2\pi\alpha $

$ \lambda_c/(2 \pi\alpha) = \frac{ h}{m_e c} \frac{1}{2 \pi\alpha} =\frac{ \hbar c}{m_e c^2}\frac{1}{\alpha}= \frac{200MeV fm}{511 keV} 137 \approx = 0,536\AA $

  • Damit lässt sich auch die Energie des H-Grundzustands sehr einfach berechnen, wenn man berücksichtigt, dass beim H-Atom das Virialtheorem gilt:

$ \langle H_{kin} \rangle = - \frac{1}{2} \langle V \rangle \Rightarrow \langle E\rangle = \frac{1}{2} \langle V \rangle $

Als mittleres Potential setzt man nun einfach die potentielle Energie beim Bohrradius ein (der inverse Bohrradius ist tatsächlich das Ergebnis von $ \langle 1/r \rangle $ im Grundzustand):

$ E_1 = \frac{1}{2} V(a_0) = -\frac{1}{2} \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{a_0} = -\frac{\alpha \hbar c }{2a_0}=-\frac{\alpha^2 m_ec^2}{2} = - 13,6eV = - Ry_\infty $

Man kann dieser Formel noch die genauen Abhängigkeiten von Kernladung und Teilchen-Masse ansehen, wenn man berücksichtigt, dass in jedes $ \alpha $ das Produkt aus Kern und Elektronladung eingehen. Insgesamt kann man deshalb die Energieabhängigkeit bestimmen zu:

$ E_n (Z,\mu) = - Ry_\infty \frac{\mu}{m_e} Z^2 \frac{1}{n^2} $

FestkörperBearbeiten

  • Wieviele Atome in Siliziumchip? Methode 1: Volumen ca 1 cm^3, Packungsdichte 0,34, Atomvolumen ca. 4/3 Pi 1 Angsröm^3. $ Anzahl=\frac{0,34 \cdot (0,01m)^3}{4/3 \pi (10^{-10m})^3} \approx 8,1 \cdot 10^{19} $
Methode 2:Gewicht: 1g, deshalb Anzahl=Masse/Molmasse * Avogadrozahl=1/28 * 6*10^23 =2^22 Atome
  • Typischer Gitterabstand in Kristallen: 0,1 nm
  • typische Energie von Röntgenstrahlung, Gitterabstand auflöst:
$ E=\hbar c k =\frac{200MeV \cdot fm \cdot 2 \pi}{\lambda}=\frac{200MeV \cdot fm \cdot 2 \pi}{0,1nm}=\frac{200MeV \cdot fm \cdot 2 \pi}{100 \, 000 fm}=4 \pi keV $
  • Wellenlänge thermischer Neutronen:
$ \lambda =h/p=\frac{2 \pi \hbar c}{pc}=\frac{2 \pi 200 MeV \cdot fm}{M \sqrt{2 E_{kin}/M}\, c}=\frac{2 \pi 200 MeV \cdot fm }{940 \frac{MeV}{c^2} \sqrt{2 E_{kin}/940 \frac{MeV}{c^2}} \, c}=\frac{2 \pi 200 MeV \cdot fm }{940 \frac{MeV}{} \sqrt{0.05 \cdot 10^{-6} MeV/940 \frac{MeV}{}} } \approx 0,185 nm $
  • Typische Debyefrequenz: Debyetemperaturen sind so um die 500 K. Es gilt $ \Theta k= \hbar \omega_D $. Wegen Zimmertemperatur ca. 297 K und 500K ca. 1,5fache Zimmertemperatur gilt gilt $ \Theta k =1,5 \cdot 1/40 eV \approx 0,04 eV $. Also insgesamt
$ 0,04eV=\hbar \omega_D= $
  • Typische Phononenenergie: $ E=\hbar \omega_D= \Theta k =1,5 \cdot 1/40 eV=0,04 eV $
  • Effektive Zustandsdichte Silizium bei Zimmertemp in der Größenordnung $ 10^{20} $ Zustände/Kubikmeter. Die ist dann noch mit T^3/2 zu muliplizieren und dem Boltzmannfaktor
  • typische spezifische Widerstände: Metall $ \rho=10^{-7} \Omega m $, Halbleiter $ \rho=10^{-4} \,\, \mathrm{bis} \,\,10^{7} \Omega m $, Isolator $ \rho \ge 10^{12}\Omega m $

TeilchenBearbeiten

$ 1 \cdot MeV/c^2 = 1,8\cdot 10^{-30} kg $ - OK, nur so mittelwichtig, aber für die Größenordnung

KerneBearbeiten

Mittlere Bindungsenergie pro Nukleon $ 8 \cdot MeV/c^2 $