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Physik

Atom-Licht-Wechselwirkung

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EinleitungBearbeiten

Atome, besser gesagt einzelne Elektronen der Atomhülle, können mit hochfrequenten elektromagnetischen Feldern wechselwirken, indem sie von denselben angeregt werden (Absorption) oder sich unter ihrem Einfluss abregen, also unter (induzierter) Photonemission einen energetisch niedrigeren freien Zustand einnehmen. Angeregte Zustände können auch spontan, also ohne Einfluss eines äußeren Feldes, Photonen emittieren.

Die Untersuchung dieser Vorgänge ist Grundlage für eine der wichtigsten experimentellen Methoden der Atomphysik, der Spektroskopie, bei der eben Emission und Absorption durch die unterschieldichen Atome und atomaren Zustände beobachtet wird, um daraus Rückschlüsse auf die Energieschemata zu ziehen.

ÜbergangswahrscheinlichkeitenBearbeiten

Für das eintreten der drei oben genannten Prozesse, also die Übergäne vom Zustand |i\rangle in den Zustand |k\rangle, oder umgekehrt, gibt es Wahrscheinlichkeiten W_{ik} (respektive W_{ki}) pro Zeit, die sich durch die Einstein-Koeffizienten B_{ki},\quad B_{ik}, und A_{ik} charakterisieren lassen:

  • Die Wahrscheinlichkeit pro Zeit für die Absorption ist mit B_{ki} proportional zur Energiedichte des anliegenden Feldes:

W_{ki}=B_{ki}\cdot\omega_{\nu}(\nu)

Die Anzahl der Photonen in der betreffenden Eigenschwingung des Feldes reduziert sich um eins.

  • Gleiches gilt für die induzierte (stimulierte) Emission:

W_{ik}=B_{ik}\cdot\omega_{\nu}(\nu)

Hier erhöht sich die Anzahl der Photonen um eins, das emittierte Photon muss also die gleiche Ausbreitungsrichtung haben, wie das stimuliernde Feld.

  • Die spontane Emission ist unabhängig vom äußeren Feld:

W_{ik}^{spon}=A_{ik}

Dementsprechend kann das Photon in eine beliebige Richtung emittiert werden.

Im stationären Gleichgewicht kompensieren sich die gesamte Emission und die Absorption, das heißt für N_x Atome im Zustand x (x=i,k) gilt dann

A_{ik}\cdot N_i+B_{ik}\cdot\omega_{\nu}\cdot N_i=B_{ki}\cdot\omega_{\nu}\cdot N_k.

Berücksichtigt man, dass die Zustände nach der Boltzmann-Verteilung besetzt sind, und benutzt man das Plancksche Strahlungsgesetz

\omega_{\nu}(\nu)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1},

so ergibt sich, dass das Verhältnis von induzierter zu spontaner Emission in einer Mode des Strahlungsfeldes gleich der Zahl der Photonen in dieser Mode ist. Bei Temperaturen T < 10^3 K ist dieses Verhältnis für den sichtbaren Spektralbereich sehr klein gegen 1. Damit die stimulierte Emission dominiert, muss man das Verhältnis erhöhen, dies kann man erreichen, indem anstatt einer Gleichverteilung der Photonen auf die verschiedenen Moden, die Photonen auf eine Mode zu konzentrieren. Das geschieht z.B. beim LASER.

Es wird nun kurz skizziert, wie die Übergangswahrscheinlichkeiten theoretisch berechnet werden.

Absorption, induzierte EmissionBearbeiten

Für diese Prozesse wird das äußere Strahlungsfeld als (kleine) periodische Störung im Hamiltonian des Systems angenommen. Der Gesamthamiltonian ist dann von der Art \hat{\mathcal{H}}=\hat{\mathcal{H}}^0+\hat{\mathcal{H}}'e^{\pm i\omega t}, wo \hat{\mathcal{H}}^0 der ungestörte Hamiltonian ist, dessen Lösungen in Form von Eigenfunktionen |\psi_n^0\rangle und dazugehörigen Eigenwerten E_n^0 bekannt sind. Dieses Problem lässt sich mit der zeitabhängigen Störungstheorie berechnen, indem die gestörten Lösungen nach den ungestörten Zuständen entwickelt werden. Die dabei auftretenden Entwicklungskoeffizienten ergeben quadriert die Übergangswahrscheinlichkeit. Für die Übergangsrate P_{ik}=\lim_{t\to\infty}W_{ik}/t findet man Fermis goldene Regel:

P_{ik}=\frac{2\pi}{\hbar^2}|\langle\psi_k^0|\hat{\mathcal{H}}'|\psi_i^0\rangle|^2\delta(E_k^0-E_i^0+\hbar\omega)

Dies ist der Fall der induzierten Emission, bei der Absorption vertauschen sich i und k sodass die Differenz am Ende positiv wird und das \hbar\omega ein negatives Vorzeichen hat.

Für den vorliegenden Fall, in dem die Störung ein oszillierendes elektrisches Feld darstellt ergibt sich wiederum für die Übergangswahrscheinlichkeit

W_{ki}=\frac{\pi e^2}{3\varepsilon_0\hbar^2}|\langle\psi_k|\vec{r}|\psi_i\rangle|^2\cdot\omega_{\nu}

An dieser Stelle wird ein Vorfaktor 2\pi dazu geschrieben und man gelangt zu dem Ergebnis

B_{ki}=\frac{2}{3}\frac{\pi^2e^2}{\varepsilon_0\hbar^2}|\langle\psi_k|\vec{r}|\psi_i\rangle|^2

In den letzten beiden Formeln tritt das Übergangsdipolmoment oder Dipolmatrixelement auf

\vec{M}_{ik}=e\langle\psi_i|\vec{r}|\psi_k\rangle,

das in der weiteren Betrachtung, vor allem bei den Auswahlregeln, von entscheidender Bedeutung sein wird.

Spontane EmissionBearbeiten

Dieser Prozess kann streng theoretisch nur mit der Quantenelektrodynamik (QED) erklärt werden, da in der Quantenmechanik der Eigenzustand eines Systems ohne äußere Störung stationär ist. In der QED dagegen ist das elektrische Feld quantisiert und eine Fluktuation um den Nullpunkt des Feldes ist möglich, wodurch die spontane Emission verursacht wird.

Anhand einer Analogieüberlegung zum klassischen schwingenden Dipol erhält man jedoch auch das richtige Ergebnis für A_{ik}. Die mittlere Leistung, die ein schwingender Dipol mit der Frequenz \omega und mit dem mittleren Dipolmoment \bar p abgibt, beträgt

\bar P = \frac{2}{3}\frac{\bar p^2\omega^4}{4\pi\varepsilon_0 c^3},

wie aus der Elektrodynamik bekannt ist. Betrachten wir nun den quantenmechanischen Erwarungswert für das Dipolmoment

\langle p\rangle = e\langle r\rangle = e\langle\psi_i|r|\psi_i\rangle

Da nun zwei Zustände an einem quantenmechanischen Strahlungsübergang beteiligt sind, ersetzen wir einen der oben eingegangenen Zustände durch |\psi_k\rangle, wodurch man das Dipolmatrixelement erhält. So ergibt sich das quantenmechanische Analogon des mittleren Dipolmomentes zu

\bar p ^2 \rightarrow \frac{1}{2}(| M_{ik}|+| M_{ik}|)^2 = 2|M_{ik}|^2.

So ergibt sich der Erwartungswert für die abgestrahlte Leistung zu

\langle P_{ik}\rangle = \frac{4}{3}\frac{\omega_{ik}^4}{4\pi\varepsilon_0c^3}| M_{ik}|^2.

Bezeichnet A_{ik} nun die Wahrscheinlichkeit pro Sekunde, dass ein Atom spontan vom Zustand i in den Zustand k übergeht, und dabei ein Photon der Energie h\nu_{ik} abstrahlt, so ergibt sich bei N_i Atomen die Leistung

\langle P \rangle = N_i\cdot A_{ik}\cdot \nu{ik}.

Aus dem Vergleich der letzten beiden Formeln erhält man, mit \langle P\rangle = N_i\langle P_{ik}\rangle für die bei der Frequenz \nu_{ik} abgestrahlte Leistung, für den Einsteinkoeffizienten

A_{ik}= \frac{2}{3}\frac{\omega_{ik}^3}{\varepsilon_0c^3h}\cdot| M_{ik}|^2

Somit ergibt sich die schon vorher gefundene Proportionalität zum Koeffizienten für die stimulierte Emission. Außerdem ist die starke Frequenzabhängigkeit interessant, niederfrequente spontane Übergänge sind also unterdrückt.

AuswahlregelnBearbeiten

Im Spektrum eines Atoms finden sich nicht Linien zu allen beliebigen Übergängen zwischen den bekannten Energieniveaus. Der Grund dafür soll nun untersucht werden. Aus den obigen Überlegungen sieht man, dass für eine nichtverschwindende Übergangswahrscheinlichkeit zwischen zwei Zuständen das entsprechende Dipolmatrixelement \vec{M}\not= 0 sein muss.

Die Bedingungen die dafür gelten müssen, werden am Beispiel des Wasserstoffs, zunächst ohne den Spin zu berücksichtigen, exemplarisch hergeleitet, gelten so aber für sehr viele Systeme, Ausnahmen werden erwähnt. Die Eigenfunktionen des Wasserstoffs

\psi_{n,l,m_l}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}R_{n,l}(r)\cdot\theta_m^l(\theta)\cdot e^{im\phi}

sind bekannt, somit ist sind die einzelnen Komponenten (M_{ik})_i mit i=x,y,z berechenbar.

Die magnetische QuantenzahlBearbeiten

Das beteiligte elektrische Feld sei zunächst linear polarisiert, der Feldvektor zeige in z-Richtung, welche wir als Quantisierungsachse wählen. Da in der Herleitung des Dipolmatrixelents aus der goldenen Regel das Skalarprodukt \vec{E}\cdot\vec{r} die jeweilige Komponente bestimmte, kann bei einem so gewählten Feld nur (M_{ik})_z einen Beitrag liefern. Es ergibt sich mit obigen Wellenfunktionen und z=r\cos\theta

(M_{ik})_z=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{r=0}^{\infty}R_iR_kr^3dr\cdot\int\limits_{\theta}^{\pi}\theta_{m_k}^{l_k}\theta_{m_i}^{l_i}\sin\theta\cos\theta d\theta\cdot\int\limits_{\phi=0}^{2\pi}e^{i(m_k-m_i)\phi}d\phi .

Das Integral über \phi kann nur verschieden von Null sein, falls die Exponentialfunktion verschwindet, was für m_i=m_k der Fall ist.

Betrachten wir nun zirkular polarisiertes Licht, dessen E-Feldvektor durch E= E_x+iE_y gegeben sei. Wir benötigen also die Linearkombinationen (M_{ik})_x\pm i(M_{ik})_y für \sigma^+ - bzw. \sigma^- -Licht. mit x= r\sin\theta\cos\phi und y=r\sin\theta\sin\phi ergibt sich in für das \phi -Integral (der Rest des Ausdruckes ist m -unabhängig, daher zunächst uninteressant)

(M_{ik})_x\pm i(M_{ik})_y \propto \int\limits_0^{2\pi}e^{i(m_k-m_i)\phi}\cdot(\cos\phi\pm i\sin\phi)=\int\limits_0^{2\pi}e^{i(m_k-m_i\pm 1)\phi}.

Das Matrixelement wird also nicht verschwinden für m_i=m_k\pm 1.

Wir haben also folgende Auswahlregeln für die magnetische Quantenzahl gefunden:

  • \Delta m = 0\qquad, für entlang der Quantisierungsachse linear polarisietes Licht
  • \Delta m = \pm 1\qquad, für senkrecht zur Quantisierungsachse zirkular polarisiertes Licht (\sigma^+ : +1 , entsprechend für \sigma^- : -1).

Diese Regeln können auch plausibel auf Grund der Drehimpulserhaltung begründet werden. Ein Photon des zirkular Polarisierten Lichts trägt bei Ausbreitung in z-Richtung durch seinen Spin den Drehimpuls \pm \hbar (\sigma^\pm -Licht), entsprechend muss sich bei Absorption die z-Komponente des Atomdrehimpulses um genau diesen Betrag ändern. Bei der Emission muss sich der Atomdrehimpuls natürlich gerade in die andere Richtung ändern, wie bei der Absorption. Linear polarisiertes Licht stellt eine Überlagerung aus \sigma^+ - und \sigma^- -Licht dar, deshalb hat es den Spinerwartungswert Null, der atomare Drehimpuls ändert sich bei Absorption und Emission nicht in der z-Komponente.

ParitätsauswahlregelnBearbeiten

Betrachten wir das \theta -Integral in der Berechnung des Matrixelements, so findet man

\int\theta_{m_k}^{l_k}\theta_{m_i}^{l_i}\sin\theta\cos\theta d\theta,

für (M_{ik})_z und

\int\theta_{m_k}^{l_k}\theta_{m_i}^{l_i}\sin\theta\cos\theta d\theta

für (M_{ik})_x und (M_{ik})_y.

Eine "mühsame Rechnung" liefert für beide Fälle, die erlaubten Beziehungen zwischen m_i und m_k vorausgesetzt, dass l_i-l_k = \pm 1 sein muss, damit das Integral nicht verschwindet. Es gilt also die Auswahlregel für die Bahndrehimpulsquantenzahl

  • \Delta l = \pm 1.

Auch diese Auswahlregel lässt sich anhand von Symmetrieargumenten begründen. Betrachtet man das Dipolmatrixelement in kartesischen Koordinaten

\vec{M}_{ik}=\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\psi_i^*(x,y,z)\cdot\vec{r}\cdot\psi_k(x,y,z)dx dy dz.

Nun ist bekannt, dass ein solches Integral für eine Funktion ungerader Parität (f(-r)=-f(r)) Null ergibt, falls der Integrand jedoch gerade Parität hat (f(r) = f(-r)), einen Beitrag ungleich Null liefert. Da \vec{r} offensichtlich ungerade Parität hat, muss das Produkt aus den Wellenfunktionen also auch ungerade Parität, damit das Matrixelement nicht verschwindet. Da die Parität der Wasserstoffwellenfunktionen aber gerade durch (-1)^l gegeben ist, und ein Photon l um höchstens eins verändern kann, ergibt sich wieder die obige Auswahlregel.

Die SpinquantenzahlBearbeiten

Die Argumentation für die Spinquantenzahl ist am einfachsten einsichtig für Wasserstoff oder Alkalimetalle, wo der Gesamtspin durch ein Elektron bestimmt wird. Es ist klar, dass der Betrag dann immer |\vec{s}|=\sqrt{3/4}\cdot\hbar beträgt und auch nicht geändert werden kann.

Für zwei Elektronen muss wieder das Dipolmartixelement betrachtet werden. Da die Elektronen ununterscheidbar sind, darf sich auch \vec{M}_{ik} bei Elektronenaustausch nicht ändern. Dies ist nur möglich, wenn die die Ortsfunktionen der beteiligten Wellenfunktionen entweder beide symmetrisch (Singulett) oder beide antisymmetrisch (Triplett) sind. Zwischen den beiden Systemen, die sich gerade im Gesamtspin unterscheiden, kann es also keine Übergänge geben, wir erhalten die Auswahlregel für die Spinquantenzahl

  • \Delta S=0.

Diese Auswahlregel gilt streng nur, solange S eine gute Quantenzahl ist, bei schweren Atomen werden auch Übergänge zwischen verschiedenen Multiplett Systemen beobachtet.

Der GesamtdrehimpulsBearbeiten

Aus den letzten beiden Regeln lässt sich eine Auswahlregel für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl J konstruieren:

  • \Delta J=0,\pm 1 \qquad, aber \quad J=0 \ \Rightarrow\  J'\not= 0

Da sich L immer ändern muss, rührt die Möglichkeit des unveränderten Gesamtdrehimpulses daher, dass sich der Spin anders orientieren kann, um die L -Änderung zu kompensieren. Allerdings muss sich J für J=0 ändern, da entweder der Gesamtspin auch Null ist, oder aber die maximale antiparallele Ausrichtung schon vorhanden war, sodass ein noch größerer Bahndrehimpuls nicht mehr ganz kompensiert werden kann.

QuadrupolübergängeBearbeiten

Sind elektrische Dipolübergänge verboten, so kann es dennoch Übergänge geben, die von den höheren Ordnungen der Störtheorie herrühren. So ergibt sich ein elektrischer Quadrupolübergang, der vom Quadrupolmoment abhängt, das im Gegensatz zum Dipolmoment gerade Parität besitzt, weil immer zwei Koordinaten an seiner Beschreibung beteiligt sind (z.B. q\cdot x\cdot y). Da die Parität der WF durch (-1)^l gegeben ist, ergibt sich die Auswahlregel für die Parität bei elektrischen Quadrupolübergängen

  • \Delta l =0, \pm 2

Das in der Störungstheorie auftauchende Matrixelement ist von der Form \langle\varphi_n|\vec{p}_{el} e^{i\vec{k}\vec{r}}|\varphi_m\rangle . Wenn die Ausdehnung des Atoms klein ist gegenüber der Wellenlänge der Strahlung, so kann man e^{i\vec{k}\vec{r}} \approx 1+i\vec{k}\vec{r} entwickeln (Langwellennäherung) und es ergibt sich aus dem ersten Glied das bekannte Dipolmatrixelement, aus dem Zweiten jedoch eine Überlagerung zwischen Quadrupol- und magnetischem Dipolelement. Die Quadrupolstrahlung ist jedoch mit dem Faktor \vec{k}\vec{r} gegenüber dem Dipolelement unterdrückt, die Intensität sogar um (\vec{k}\vec{r})^2. Daher wird die Quadrupol-/magnetische Dipolstrahlung nur dann sichtbar, wenn der entsprechende Dipolübergang verboten ist.

Magnetische DipolübergängeBearbeiten

Weitere auftretende Strahlung ist die magnetische Dipolstrahlung wenn sich das magnetische Dipolmoment bei einem Übergang ändert, z.B. zwischen Feinstrukturtermen. Diese Übergänge sind schwer zu beobachten, da ihr Matrixelement 2-3 Größenordnungen kleiner ist als das der Dipolstrahlung.

Lebensdauern angeregter ZuständeBearbeiten

A_i sei die gesamte Wahrscheinlichkeit pro Sekunde, dass der Zustand | i\rangle zerfällt. Bei mehreren Zerfallskanälen also A_i=\sum _j A_{ij} ansonsten A_i=A_{ij}. Außerdem sei N_i die Anzahl der Atome im Zustand | i\rangle, dann ist die Änderung dieser Anzahl durch

dN_i=-A_iN_idt

gegeben, also

N_i(t)= N_0e^{-A_it}

Die charakteristische Zeit (bei der N_0 auf N_0/e abgefallen ist), mit der das geschieht ist dann

\tau:=\frac{1}{A_i},

und wird die Lebensdauer dieses Zustandes genannt.

Geschieht die Abregung nicht nur durch Strahlungsübergänge, so erhält man in der Differentialgleichung eine weitere Übergangswahrscheinlichkeit R_i, sodass sich

\tau_{eff}=\frac{1}{A_i+R_i}

ergibt. Für Abregung durch inelastische Stöße kann man schreiben R_i=n_B\bar v _{AB} \sigma_i^{inel}, man erhält also

\frac{1}{\tau_{eff}}=\frac{1}{\tau_{spont}}+n_B \bar v _{AB}\sigma_i^{inel}.

trägt man 1/\tau_{eff} gegen das Produkt n_B\bar v _{AB} auf (Stern-Volmer-Plot), so erhält aus der Steigung der Geraden den inelastischen Wirkungsquerschnitt für die Stöße und der Achsenabschnitt ist gerade der Kehrwert der Lebensdauer nur auf Grund des spontanen Zerfalls.

LinienbreitenBearbeiten

Gegen die Frequenz aufgetragen, ergibt die Strahlung, die ein bestimmter Zustand bei einem Übergang aussendet keinen Deltapeak, das Atom strahlt also bei einem Übergang nicht streng auf einer Frequenz (monochromatisch). Das Auftreten der verbreiterten Linie hat verschiedene Gründe, die auch verschieden stark zur Breite beitragen.

  • Die natürliche Linienbreite ist eine direkte Folge daraus, dass die Energieen der am Übergang beteiligten Zustände aufgrund der endlichen Abstrahldauer in Verbindung mit der Heisenbergschen Unschärferelation nicht beliebig scharf sein können, woraus sich unterschiedliche Übergangsfrequenzen ergeben.
  • Die Dopplerverbreiterung der Linien liegt an der Bewegung der abstrahlenden (absorbierenden) Atome.
  • Die Stoßverbreiterung wird durch die Verschiebung der Energieniveaus bei Atom-Atom Wechselwirkungen begründet.
  • Die Leistungsverbreiterung tritt bei Atomen in sehr starken Laserfeldern auf.

Alle hier angestellten Überlegungen gelten sowohl für Emissions- als auch Absorptionslinien.

Natürliche LinienbreiteBearbeiten

Zur Behandlung dieses Problems bietet es sich an, das abstrahlende Elektron als klassischen gedämpften harmonischen Oszillator zu betrachten. Es folgt also der Bewegungsgleichung

\ddot x +\gamma\dot x +\omega_0^2x=0,

mit der Lösung (Anfangsbedingungen x(0)=x_0,\quad\dot x(0)=0)

x(t)=x_0e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cdot(\cos(\omega t)+\frac{\gamma}{2\omega}\cdot\sin(\omega t)\quad , mit \omega=\sqrt{\omega_0^2-(\frac{\gamma}{2})^2}.

Da sich herausstellt, dass \gamma\ll \omega_0 benutzen wir allerdings \omega\approx\omega_0, also

x(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cdot\cos(\omega_0t).

Da die Schwingung exponentiell abfällt ist sie nicht mehr streng monochromatisch, man erhält ihr Spektrum A(\omega) durch die Fouriertransformation

A(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty x(t)\cdot e^{-i\omega t}dt= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty x(t)=e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cdot\cos(\omega_0t)\cdot e^{-i\omega t}dt

= \frac{x_0}{\sqrt{8\pi}}\cdot\left(\frac{1}{i(\omega_0-\omega)+\gamma/2} + \frac{1}{i(\omega_0+\omega)+\gamma/2}\right)

Wir interessieren uns vor allem für den Bereich in der Nähe von \omega_0 , deshalb ist \omega-\omega_0 \ll \omega , der zweite Term kann also vernachlässigt werden. Die abgestrahlte Leistung ist proportional zu | A(\omega)|^2

P_{\omega}(\omega) = \frac{C}{(\omega_0-\omega)^2+(\gamma/2)^2}

Mit einer (nicht der einzig möglichen) geeigneten Normierung findet man

P_{\omega}(\omega) = P_0\cdot \frac{\gamma}{2\pi((\omega_0-\omega)^2+(\gamma/2)^2)},

also ein Lorentzprofil der Spektrallinie, aus dem man die Halbwertsbreiten

\delta\omega_n=\gamma \qquad \Rightarrow \qquad \delta\nu_n=\frac{\gamma}{2\pi}

erhält.

Die natürliche Linienbreite hängt direkt mit der Lebensdauer des Zustandes zusammen, denn aus der Oszillatorgleichung erhält man auch die zeitliche Entwicklung der abgestrahlten Leistung (\propto \dot x^2)

\bar P(t) = -\frac{1}{2}\gamma mx_0^2\omega_0^2\cdot e^{-\gamma t}.

Sie klingt also mit der Zeitkonstanten \gamma ab. Diese kann man nun mit A_i aus dem vorangegangenen Abschnitt identifizieren, woraus folgt

\delta\omega_n = A_i = \frac{1}{\tau_i}\qquad \Rightarrow \qquad\delta\nu_n=\frac{A_i}{2\pi}

Man erhält die Linienbreite auch direkt aus der Unschärferelation, denn ist die Energie nur bis auf \Delta E bekannt, so gilt

\Delta E = \hbar\Delta\omega = \frac{\hbar}{\tau}.

DopplerverbreiterungBearbeiten

Bewegt sich ein Atom mit der Geschwindikeit \vec{v} und emittiert gleichzeitig ein Photon mit dem Wellenvektor \vec{k}, so verschiebt sich die Frequenz des emittierten Photons zu

\omega_e=\omega_0+\vec{k}\cdot\vec{v}.

Gleiches gilt auch für ein absorbierendes Photon, die Frequenz des Lichtes muss zu

\omega_a=\omega_0+\vec{k}\cdot\vec{v}

verschoben sein, damit es absorbiert werden kann. Sei nun die Geschwindigkeit des Atoms nur bestimmt durch die z-Komponente, dann gilt
\vec{v}= \{0,0,v_z\} \qquad\Rightarrow \qquad\vec{k}\cdot\vec{v}=k_zv_z

\Rightarrow\qquad\omega_e=\omega_0+k_zv_z=\omega_0\cdot\left(1+\frac{v_z}{c}\right)\qquad\Leftrightarrow\qquad v_z=c\cdot\left(\frac{\omega_e}{\omega_0}-1\right).

Nun sind die Geschwindigkeiten der Atome eines Gases im thermischen Gleichgewicht um ihren wahscheinlichsten Wert normalverteilt, das heißt die Wahrscheinlichkeit, ein Atom mit der Geschwindigkeit (bzw. einer Geschwindigkeitskomponente) zwischen v_z und v_z+dv_z zu finden, ist gegeben durch

n_i(v_z)dv_z = \frac{N_i}{v_w\sqrt{\pi}}\cdot e^{-\left(\frac{v_z}{v_w}\right)^2}dv_z\qquad, mit:\quad v_w=\sqrt{\frac{2k_BT}{m}}\qquad, und:\quad N_i=\int n_i(v_z)dv_z.

Setzt man den oben gefundenen Ausdruck für v_z ein und außerdem dv_z= (c/\omega_o)d\omega, so erhält man

n_i(\omega)d\omega= \frac{c\cdot N_i}{\omega_0\cdot v_w\sqrt{\pi}}\cdot e^{-\left(c(\omega-\omega_0)/(\omega_0 v_w)\right)^2}.

Da die Abstrahlungsleistung P(\omega) proportional zu n_i(\omega) ist, gilt

P(\omega)=P(\omega_0)\cdot e^{-\left(c(\omega-\omega_0)/(\omega_0 v_w)\right)^2},

es ergibt sich also ein Gaußprofil der Linie mit der Halbwertsbreite

\delta\omega_D = 2\sqrt{ln2}\cdot\omega_0\cdot v_w/c=\frac{\omega_0}{c}\sqrt{\frac{8k_BT\cdot ln2}{m}}

Interessant sind besonders die Abhängigkeiten von der Frequenz \omega_0 und der Temperatur. An Zahlenbeispielen sieht man, dass die Dobblerverbreiterung um ca. zwei Größenordnungen größer ist, als die natürliche Linienbreite, diese somit vollständig überdeckt. Da die Gaußkurve allerdings schneller gegen Null geht als das Lorentzprofil, kann man aus den Linienflügeln oft noch Informationen über die natürliche Linienbreite erhalten.

Stoßverbreiterung (Druckverbreiterung)Bearbeiten

In einem Gas wechselwirken die einzelnen Atome untereinander ständig durch Stöße. Wie schon im Abschnitt zu Lebensdauern von angeregten Zuständen gesehen, bewirken Stöße eine schnellere Abregung eines Zustandes (stoßinduzierte Relaxation), die effektive Lebensdauer sinkt. Dies resultiert, wie ebenfalls oben beschrieben wurde, in einer größeren Linienbreite. Dieser Fall beschreibt die Situation, dass die Atome die Anregungsenergie auf Stoßpartner übertragen, es handelt sich also um inelastische Stöße.

Es gibt auch den Fall der elastischen Stöße, bei denen, durch die Wechselwirkung der Atome untereinander bei einem bestimmten Abstand R, die Energieniveaus der einzelnen Atome (abhängig von R) verschoben werden. So ergibt sich zum einen eine zur ursprünglichen Übergangsfrequenz verschobene Frequenz, und zum anderen, aufgrund dessen, dass die Abstände der Atome statistisch verteilt um einen Mittelwert sind, eine Linienverbreiterung, ebenfalls statistisch verteilt um einen (verschobenen) Mittelwert.

LeistungsverbreiterungBearbeiten

Wird ein optisch aktives Medium mit einem sehr starken Laser bestrahlt, so werden bei sehr hoher Laser-Intensität bei einer Laserfrequenz, die fast resonant mit einem atomaren Übergang ist, alle Prozesse außer der Emission und der Absorption dieses einen Übergangs relativ unwichtig. Ein Atom dieses Mediums verhält sich dann effektiv wie ein Zwei-Niveau-System (analog zu einem Spin-1/2 System), welches an einen einzigen harmonischen Oszillator (die Lasermode) gekoppelt ist, der (fast) den gleichen Energieabstand aufweist. Beginnt man nun in einem Ausgangszustand des Gesamtsystems mit mindestens einer Anregung (entweder höheres Atom-Niveau oder der erste angeregte Zustand des Harmonischen Oszillators = anwesendes Photon), so tauschen das Atom und der Laser immer wieder Energie aus mit einer Rabi-Frequenz, welche proportional zur Kopplung der Systeme und damit der Amplitude des Lasers ist. Dieser Mechanismus ist bei schwachen Laserfeldern ohne Bedeutung für die gemessene Linienbreite. Sind allerdings die Rabi-Frequenz und die inverse Lebensdauer in einer vergleichbaren Größenordnung, so stellen die Rabi-Oszillationen einen weiteren nicht zu vernachlässigen Prozess dar, durch den die effektive Niveau-Lebensdauer verkürzt wird. Diese Verkürzung der Lebensdauer führt wegen der Energie-Zeit-Unschärfe direkt zu einer Verbreiterung der Frequenzverteilung des emittierten Lichts.

Offene FragenBearbeiten

  • Abhängigkeiten der nat. Linienbreite (m, etc.?)


Prüfungsfragen Bearbeiten

  • Auswahlregeln!!!!!!!:

Herleitung: Drehimpulserhaltung 2p-3p verboten wegen Paritätserhaltung Parität optische übergänge Spinübergänge(bei dipolübergang keine magnetischen Kräfte, daher delta_s=0)(aber: siehe He) Brillenzone, was heißt das?

  • Übergangswahrscheinlichkeiten für elektronische Übergänge
  • Dipoloperator
  • Matrixelement berechnen
  • Quadrupol
  • Mestastabilie Zustände
  • Virtuelle Zwischeniveaus
  • Strahlugsverteilung für Pi u Sigma
  • Polarisiertes Licht:

Drehimpuls des Photons, in welcher Richtrung sieht man welches und warum

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