Das Heliumatom

"Ich hab gleich gemerkt, das ist ein Druckschmerz, wenn man drauf drückt." - Lothar Matthäus -

Einleitung

Das Heliumatom besteht aus 2 Elektronen und einem Kern der Ladungszahl Z=2.

Hintergründe, Herstellung

Helium ist, nach Wasserstoff, das zweithäufigste Element im Universum. Der größte Teil davon entstand in den ersten 3 Minuten nach dem Urknall. Der Rest ist Produkt der Kernfusion von Wasserstoff in Sternen. Auf der Erde wird 4He in Form von Alphateilchen bei dem Alphazerfall verschiedener radioaktiver Elemente wie zum Beispiel Uran oder Radium gebildet. Helium entsteht daraus, wenn das Alphateilchen anderen Atomen zwei Elektronen entreißt. Das so entstandene Helium sammelt sich in natürlichen Erdgas-Vorkommen in Konzentrationen bis zu sieben Volumenprozent. Daher kann Helium durch Fraktionierte Destillation aus Erdgas gewonnen werden.

3He ist nur zu ca. 1,4 ppm in natürlichem Helium enthalten und ist daher sehr teuer. Es kann durch Betazerfall aus Tritium erzeugt werden: Dabei wird eines der 2 Neutronen durch Elektronaussendung in ein Proton umgewandelt. Das dazu nötige Tritium erhält man entweder durch 2-fachen Einfang von Neutronen oder durch Neutronenbeschuss von Lithium 6Li in einem Kernreaktor.

Hamiltonoperator

Nach dem Wechsel ins Schwerpunktsystem und dem Abseparieren der Kernbewegung bleibt die SG für die Elektronen:

$\hat{H}\Psi ( \vec{r}_1 , \vec{r}_2) = E_{g}\Psi ( \vec{r}_1 , \vec{r}_2)$

mit

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2 m}\Delta_1 -\frac{\hbar^2}{2 m}\Delta_2 -\frac{ e^2}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{Z}{r_1}+ \frac{Z}{r_2}- \frac{1}{r_{12}} \right)$

wobei $\mu =m_e =m$ gesetzt wurde, da die Masse des Kerns viel größer als die der Elektronen ist. Diese Gleichung ist nicht analytisch lösbar, weswegen wir im Folgenden Näherungen betrachten.

Nullte Näherung (Wingert-Näherung)

In 0. Näherung vernachlässigen wir den Term $\frac{1}{r_{12}}$ mit der Begründung, dass im Mittel aufgrund der Abstoßung der beiden Elektronen untereinander deren Relativabstand größer als deren Abstand zum Kern sein muss. Die SG wird dann durch den Produktzustand

$\Psi ( \vec{r}_1 , \vec{r}_2) = \psi_1 ( \vec{r}_1 ) \cdot \psi_2 ( \vec{r}_2 )$

gelöst, wie man leicht durch Einsetzen überprüfen kann ;-) Die Funktionen $\psi_i( \vec{r}_i)$ entsprechen hierbei Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms mit Kernladungszahl Z=2. Nach diesem Modell beträgt die Bindungsenergie eines Elektrons $-13,6 eV \cdot Z^2 = -54,4 eV$ und damit die Gesamtenergie des Grundzustandes $-54,4 eV \cdot 2 = 108,8 eV$. Experimente ergeben eine Grundzustandsenergie von 78,93 eV, wobei für die Ionisierung des ersten Elektrons 24,6 eV, für die des Zweiten 54,4 eV aufgewendet werden müssen. Die 0. Näherung ergibt also nur für das zweite Elektron das richtige Ergebnis (logischerweise), wohingegen wir für das Erste die Elektron-Elektron-Wechselwirkung offensichtlich nicht vernachlässigen können. Dies führt uns zur

1. Näherung

Wir betrachten nun den Term $\frac{e^2}{r_{12}}$ als kleine Störung und Berechnen die Energieverschiebung des Grunzustandes $\Psi_{G}( \vec{r}_1 , \vec{r}_2)=\psi_{100} ( \vec{r}_1 ) \cdot \psi_{100} ( \vec{r}_2 )$ in erster Ordnung Störungstheorie ( $\psi_{100}$ ist die Wasserstoff-Grundzustandsfunktion, der Spinanteil der Wellenfunktion geht nicht in die Berechnung der Energie ein und wurde daher weggelassen):

$\Delta E = \int\int \Psi^*_{G} \frac{e^2}{r_{12}}\Psi_{G} d\vec{r}_1 d\vec{r}_2 = 34 eV$

Unsere korrigierte Grundzustandsenergie wird damit zu (-108,8 + 34)eV = 74,8 eV, was schon viel näher an den gemessenen 78,93 eV liegt.

Alternative Beschreibung: Man führt die Abschirmungskonstante S ein, die die Abschirmung der Kernladung durch das erste Elektron berücksichtigt, wenn man versucht, das Zweite zu ionisieren. Die gesamte Ionisierungsenergie ergibt sich dann zu:

E_ges= E_erstes_elektron + E_zweites_elektron=(Z-S)^2 E_H + Z^2 E_H, wobei E_H = -13,6eV ist. Für S = 0,656 erhält man den experimentellen Wert der Grundzustandsenergie.

Symmetrie der Wellenfunktionen

Da Elektronen Fermionen sind, muss nach Pauli die Gesamtwellenfuntion - das Produkt aus Orts- und Spinwellenfunktion - insgesamt antisymmetrisch unter Austausch der Elektronen sein. Koppelt man die beiden Elektronenspins $\vec{s}_1$ und $\vec{s}_2$ zum Gesamtspin $\vec{S} =\vec{s}_1+\vec{s}_2$, so ergeben sich 3 symmetrische Spinfunktionen

$\chi (S,S_z)$ mit $S=1, S_z=\left\{ 0, \pm 1 \right\}$

$\left| \vec{S} \right|=\sqrt{S(S+1)}, S_z= s_{1z}+s_{2z}$

sowie eine antisymmetrische Funktion

$\chi (0,0)$.

So muss z.B. der Grundzustand die Spinwellenfunktion $\chi (0,0)$ haben, da die Ortswellenfunktion $\psi_{100} ( \vec{r}_1 ) \cdot \psi_{100} ( \vec{r}_2 )$ symmetrisch ist.

Betrachten wir nun noch den ersten angeregten Zustand: Hier bleibt ein Elektron im Grunzustand (1,0,0) während sich das andere im Nächsthöreren (2,0,0) befindet. Um der Antisymmetrieforderung zu genügen, kann die Gesamtwellenfunktion entweder aus symmetrischer Orts- und antisymmetrischer Spinwellenfuntion

$1/\sqrt{2}(\psi_{200} ( \vec{r}_1 ) \cdot \psi_{100} ( \vec{r}_2 )+\psi_{100} ( \vec{r}_1 ) \cdot \psi_{200} ( \vec{r}_2 )\chi (0,0)</$

oder aus symmetrischer Spin- und antisymmetrischer Ortswellenfuntion

$1/\sqrt{2}(\psi_{200} ( \vec{r}_1 ) \cdot \psi_{100} ( \vec{r}_2 )-\psi_{100} ( \vec{r}_1 ) \cdot \psi_{200} ( \vec{r}_2 )\chi (1,\left\{ 0, \pm 1 \right\} )$

bestehen. Die höhere Energie hat hierbei der Singulettzustand:

Durch dessen symmetrische Ortswellenfunktion können sich die Elektronen beliebig nahe kommen, ohne dass die Wellenfunktion verschwindet, ganz im Gegenteil zum antisymmetrischen Fall. Daher ist der Elektronabstand im Mittel kleiner und die Coulombenergie zwischen den Elektronen höher, was den Singulettzustand damit gegenüber dem Triplett energetisch anhebt.

Termschema

• Energienullpunkt: (1s)(1s) Grundzustand, $1 S^1_0$ (n=1, L=l_1+l_2=0, S=0, Multiplizität=1, J=L+S=0), Singulett

• 19,8 eV: (1s)(2s), $2 S^3_1$ (n=2, L=l_1+l_2=0, S=1, Multiplizität=3, J=L+S=1), Triplett

• 20,6 eV: (1s)(2s), $2 S^1_0$ (n=2, L=l_1+l_2=0, S=0, Multiplizität=1, J=L+S=0), Singulett

• (1s)(2p), $2 P^3_{0,1,2}$ (n=2, L=l_1+l_2=1, S=1, Multiplizität=3, J=L+S=0,1,2), Triplett
• (1s)(2p), $2 P^1_1$ (n=2, L=l_1+l_2=1, S=0, Multiplizität=1, J=L+S=1), Singulett
• usw.

Zu Beachten ist, dass die Triplettzustände stets tiefer sind als die entprechenden Singuletts, dass der Grunzustand nur als Singulett möglich ist und dass die Triplettzustände mit L >=1 in drei Feinstrukturzustände aufspalten, da hier J durch Vektoraddition von S und L drei verschiedene Werte annehmen kann.

Strahlungsübergänge

• Aufgrund der Auswahlregel $\Delta l = \pm 1$ sind Übergänge der beiden 2 S Niveaus in den Grundzustand verboten. Daher nennt man diese metastabil. Diese Niveaus enstehen z.B. durch Stoßprozesse bei Gasentladungen und können nicht durch Strahlung zerfallen.
• aus $\Delta s = 0$ folgt auch $\Delta S=0$, d.h. Übergangsverbot zwischen den Triplett- und Singulettzuständen. Früher glaubte man sogar an zwei verschiedene Heliumsorten, daher die Namen Ortho- und Parahelium.
• aus $\Delta m_z = 0, \pm 1$ folgt $\Delta M_z = 0, \pm 1$
• aus $\Delta l = \pm 1$ folgt $\Delta L = \pm 1$
• Begründung: bei der Anregung eines Atoms ändern sich sie Quantenzahlen des andren nicht.
• $\Delta j= \pm 1$ und $\Delta j= 0$, falls j voher nicht Null war

offene Fragen

• He4 wann flüssig
• Siedetemp
• hat He3 o. He4 Kernspin, was is mit e- spin?
• parität bei übergang
• Hyperfeinstrukt
• $\Delta s = 0$ nicht mehr gültig bei jj -kopplung, dann spin keine gute quantenzahl mehr
• Wieso p niveaus energetisch höher als s-niveaus

beantwortete Fragen

• Lebensdauer der Zustände (Antwort: $2 P^1_1: 1,5 \cdot 10^{-9} s$ || $2 S^1_0: 20 ms$ metastabil da $\Delta l = \pm 1$ || $2 S^3_1: 7870s$ metastabil wegen $\Delta l = \pm 1$ und Übergangsverbot zw Singulett u Triplett)

KOMMENTAR: Im Demtröder auf Seite 258 steht bei der Lebensdauer von $2 S^3_1$ etwas von $\tau \ge 600s$. Was stimmt denn jetzt?

KOMMENTAR: Ist doch beides konsistent ;-) Naja ich habs von Demtröder S.208..

• He Moleküle können die existieren? (Antwort: Im Grundzustand nicht,da wirkt nur die schwache v.d.Waals-Wechselwirkung. Aber falls ein He Atom angeregt ist, kann sich das Excimer He2* bilden)