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Das Wasserstoffatom ist das leichteste Element und besteht in seinem am häufigsten auftretenden Isotop lediglich aus einem Proton und einem Elektron. Wasserstoff ist das häufigste Element des Universums, weshalb eine genaue Kenntnis des Spektrums sich auch als fruchtbar für die Astrophysik erwiesen hat.

Als einfachstes atomares System lässt sich das Wasserstoffatom quantenmechanisch exakt lösen, wenn man von relativistischen Korrekturen absieht. Es ist deshalb ein wichtiges Modellsystem um schwerere Atome zu verstehen.

Bohr'sches AtommodellBearbeiten

Das Elektron kann nur auf bestimmten Bahnen um den Kern kreisen. Auf diesen strahlt es keine em-Strahlung ab (nicht konsistent mit Elektrodynamik). Die Radien für die Kreisbahn sind durch eine Phasenraum-Quantisierungsbedingung gegeben:

nh = \oint p ds = 2\pi r_n m_e v_n mit p=m_e\cdot v_n=const

n\hbar = r_n m_e v_n = L_n Drehimpuls quantisiert in Einheiten von \hbar

Wegen Coulombkraft = Zentripetalkraft folgt:

r_n \cdot v_n^2 = \frac{Z e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e}

\Rightarrow n\hbar = \frac{Z e^2}{4\pi \epsilon_0 v_n}

\Leftrightarrow v_n = \frac{Z e^2}{4\pi \epsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{n}

\Rightarrow r_n = \frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{Z e^2 m_e} \cdot n^2 = \frac{a_0}{Z} n^2 mit dem Bohrschen Radius a_0

Daraus ergibt sich für die Energieniveaus mit E_{tot} = \frac{1}{2}m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}

 E_n = \frac{1}{2}m_e \left(\frac{Z e^2}{4\pi \epsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{n}\right)^2 - \frac{Z e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{Z e^2 m_e}{4\pi \epsilon_0 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2} = - \frac{m_e Z^2 e^4}{(4\pi \epsilon_0 \hbar)^2 }\cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{1}{2} \frac{Z^2 e^2}{4\pi\epsilon_0} \cdot\frac{1}{a_0 n^2}=- Z^2 Ry_\infty \frac{1}{n^2}


Man sieht daran erstens, dass die Energie negativ ist, also Bindungszustände vorliegen und zweitens, dass diese Energie gerade der halben potentiellen Coulomb-Energie entspricht. Der kinetische Beitrag ist also vom Betrag genau halb so groß wie die Coulombenergie. In der klassischen Mechanik ist dies bereits eine Folge des Virialtheorems.

Bei Übergängen zwischen verschiedenen Niveaus kann das H-Atom deshalb nur Photonen bestimmter Energie absorbieren/emittieren:

E(n\rightarrow m) = E_m - E_n = Z^2 Ry_\infty \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)

Dies gibt die beobachteten Spektrallinien von Wasserstoff bereits sehr gut wieder und funktioniert in leicht modifizierter Form (effektive Ladung durch Abschirmung) auch für die charakteristischen Röntgenspektren schwererer Elemente sowie die Energieniveaus von Rydbergatomen.

Quantenmechanische BehandlungBearbeiten

Um das Wasserstoffatom richtig zu beschreiben muss man zur QM-Beschreibung übergehen:

Stationäre SG:\hat{H}\Psi = E_{g}\Psi

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2 m_e}\Delta_e -\frac{\hbar^2}{2 m_K}\Delta_K -\frac{Z e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{\left|\vec{r}_e - \vec{r_K}\right|}

Das Zweikörperproblem entkoppelt über die Einführung von Schwerpunkt- und Relativkoordinaten:

 \vec{r_S} = \frac{m_e \vec{r}_e + m_K \vec{r}_K}{m_e+m_K}\approx \vec{r}_K,\; \vec{r}= \vec{r}_e - \vec{r_K},\; \mu = \frac{m_e m_K}{m_e + m_K}\approx m_e

\Rightarrow \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2 (m_e+m_K)}\Delta_S -\frac{\hbar^2}{2 \mu}\Delta -\frac{Z e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{\left|\vec{r}\right|} = \hat{H}_S + \hat{H}_r

Die Schwerpunktsbewegung entspricht der eines freien Teilchens und kann durch den Produktansatz \Psi = \psi_k(\vec{r}_K) \cdot \psi(\vec{r}) absepariert werden.

Die verbleibende Gleichung \hat{H}_r \psi = E \psi kann aufgrund der Radialsymmetrie durch einen Produktansatz \psi = Y_{lm}\cdot\frac{u(r)}{r} in eine DGL für  r = |\vec{r}| überführt werden.

\left( - \frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2} + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2\mu r^2} - \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}\right)u(r) = E \cdot u(r)

Diese kann nach Abspalten des asymptotischen Verhaltens r\to\infty,\; r\to 0 durch die Laguerre-Polynome gelöst werden und führt schließlich auf die Wasserstofforbitale.

Stationäre LösungenBearbeiten

 \psi_{nlm} = R_{nl}(r)\cdot Y_{lm}(\theta,\phi)

R_{nl} = \sqrt {{\left ( \frac{2}{n a_0} \right )}^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]} } e^{- \rho / 2} \rho^{l} L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)

mit:

  • \rho = {2r \over {na_0}}
  • L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) sind die verallgemeinerten Laguerre Polynome vom Grad n-l-1.


 \hat{H}\psi_{nlm} = E_n \cdot \psi_{nlm}

Die Wasserstoffniveaus sind zweifach entartet (in l und m), obwohl aufgrund der Radialsymmetrie lediglich eine Entartung in der m Quantenzahl zu erwarten gewesen wäre. Sie sind bis auf die reduzierte Masse genau durch die Bohr'schen Eneergieniveaus gegeben.

Die l-Entartung des Wasserstoffspektrums ist charakteristisch für das Coulomb-Potential. Das einzige andere radialsymmetrische Potential, das diese Eigenschaft aufweist, ist der 3d Harmonische Oszillator. Anschaulich gesprochen, macht sich die Enartung schon beim klassischen Keplerproblem V\sim {1 \over r} bemerkbar, weil die elliptischen Lösungstrajektorien durch vorgegebene Energie und Drehimpuls noch nicht vollständig charakterisiert sind. Als zusätzliche Erhaltungsgröße gibt es den Runge-Lenz-Vektor, welcher Informationen über die Exzentrizität der Ellipsenbahn enthält.

Mehrelektronenatome besitzen wegen Abschirmungseffekten durch Elektronen auf tieferen Schalen kein einfaches Coulomb-Potential mehr, die l-Entartung ihrer Energieniveaus wird deshalb auch schon ohne relativistische Korrekturen aufgehoben.

Visualisierung der OrbitaleBearbeiten

TODO

KorrekturenBearbeiten

FeinstrukturBearbeiten

Die größten Abweichungen vom oben gelösten Atommodell ergeben sich alle aus relativistischen Effekten:

Spin-Bahn-KopplungBearbeiten

Das Elektron besitzt ein inneres magnetisches Moment, den Spin. Durch die Bahnbewegung sieht das ELektron in seinem Ruhesystem den Kern als einen Kreisstrom, der ein Magnetfeld induziert. Besonders Elektronen auf Kern-nahen Bahnen erfahren dadurch in Abhängigkeit von der Ausrichtung ihres Spins eine Energieverschiebung.

Herleitung des magnetischen Feldes durch die Kreisbewegung des Kerns im Ruhesystem des Elektrons (über Biot-Savart):

Kreisstrom I = {+Ze \nu}= Ze { v \over 2 \pi r} durch Leiterschleife  \vec{s} (\phi) = (r \cos(\phi), r \sin(\phi), 0)^T

Biot-Savart: d\vec{B}(\vec{r}) = {\mu_0 I\over 4 \pi} d\vec{s} \times {(\vec{r}-\vec{s}) \over |\vec{r}-\vec{s}|^3}

Auf der z-Achse \vec{e}_z \cdot \vec{s} = 0 lässt sich das Magnetfeld dann analytisch ausrechnen:

 d\vec{B}(\vec{r} = z \vec{e}_z) = {\mu_0 I\over 4 \pi} r d\phi \vec{e}_\phi \times {(z \vec{e}_z -\vec{s}) \over (z^2 + r^2)^{3/2}}

Aus Symmetriegründen muss dort das aufintegrierte B in z-Richtung zeigen, wir können also auch den Integrand auf z projezieren.

 (\vec{e}_\phi \times (z \vec{e}_z -\vec{s})) \cdot \vec{e}_z = |\vec{s}| = r

 \Rightarrow \vec{B}(\vec{r} = z \vec{e}_z) = B(z)\vec{e}_z = {\mu_0 I \over 4 \pi} \int_0^{2\pi} r d\phi { r \over (z^2 + r^2)^{3/2}} \vec{e}_z = {\mu_0 I\over 4 \pi} \int_0^{2\pi} r d\phi { r \over (z^2 + r^2)^{3/2}} \vec{e}_z = 
{\mu_0 I r ^2\over 4 \pi (z^2 + r^2)^{3/2}} \int_0^{2\pi} d\phi \vec{e}_z = {\mu_0 I r^2 \over 2} {1 \over (z^2 + r^2)^{3/2}}

Im Ursprung ergibt sich wenn man außerdem den Ausdruck für den Strom einsetzt:

\vec{B}(0) = {\mu_0 I \over 2 r} \vec{e}_z = {Ze \mu_0 v \over 4 \pi r^2} \vec{e}_z = { Ze \mu_0 (\vec{r} \times \vec{v}) \over 4 \pi r^3} = {Z e \mu_0 \over 4 \pi m_e r^3}\vec{l}

Eine relativistische Korrektur (Thomas-Präzession) aufgrund der Tatsache, dass das Ruhesystem des Elektrons keine Inertialsystem ist, führt zu einem zusätzlichen Faktor von {1 \over 2}

\Rightarrow \vec{B}_K = {\vec{B}(0) \over 2} = {Z e \mu_0 \over 8 \pi m_e r^3}\vec{l}

Das magnetische Moment des Elektrons ist: \vec{\mu_s} = - g_s {e \over 2 m_e}\vec{s} mit g_s \approx 2

Die Energie des magnetischen Moments des Elektron im Feld des Kerns (unter Berücksichtigung des Korrekturfaktors) ergibt sich dann zu:

\Rightarrow V_{ls} = -\vec{\mu_s} \vec{B}_K = {Z e^2 \mu_0 \over 8 \pi m_e^2 r^3}\left(\vec{s} \cdot \vec{l}\right)

Für  Z=1, \; r \sim 10^{-10} m \Rightarrow B_K \approx 1 Tesla, \; \langle V_{ls} \rangle \approx 10^{-4} eV

Wegen des Kopplungsterms von Spin und Bahndrehimpuls geht man zum Gesamtdrehimpuls j über:

\vec{j} = \vec{l}+\vec{s}, \; \vec{s} \cdot \vec{l} = {1 \over 2}(\vec{j^2}- \vec{l}^2 - \vec{s}^2)

Außerdem berechnet man den Erwartungswert des {1 \over r^3} - Terms und erhält damit in der neuen Basis (n,l,s,j,m_j) die folgende Energiekorrektur (Störungstheorie erster Ordnung):

\langle V_{ls} \rangle \sim {Z^4 \over 2n^3 l (l+{1\over 2})(l+1)}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))

Weitere KorrekturenBearbeiten

  • Relativistische Massenkorrektur: Die in den QM-Formalismus eingehende Energie-Impuls-Beziehung lässt sich als Entwicklung erster Ordnung aus der relativistischen herleiten. Nimmt man aus dieser Entwicklung noch den nächst-höheren Term hinzu, erhält man Energieverschiebungen von der gleichen Größenordnung wie die Spin-Bahn-Kopplung

E = \sqrt{ m^2c^4 + \vec{p}^2c^2 } = mc^2 \sqrt{1 + {\vec{p}^2 \over m^2c^2} }\approx mc^2\left( 1 + {1 \over 2} {\vec{p}^2 \over m^2c^2} - {1 \over 8} {\vec{p}^4 \over m^4c^4} \right) = {\vec{p}^2 \over 2 m} - {\vec{p}^4 \over 8 m^3c^2} + mc^2

Der konstante Ruhemassenterm ist dabei natürlich unerheblich, jedoch führt der O(p^4) zu einer Energie-Korrektur in der erwarteten Größenordnung. Es ist zu beachten, dass es sich um eine skalare Rotationsinvariante Größe handelt. Deshalb lässt sich die Korrektur trotz der Energieentartung des Wasserstoffs in der H-Eigenbasis berechnen.

\hat{V}_m = - {\hat{\vec{p}}^4 \over 8 m^3c^2}


  • Darwin-Term: Aufgrund der Zitterbewegung des Elektrons, spürt es effektiv ein anderes mittleres Potential als durch den Erwartungswert von r gegeben ist: \langle V(r)\rangle \sim \langle \frac{1}{r}\rangle \neq \frac{1}{\langle r \rangle}

Bei einer Taylorentwicklung des Coulomb-Potentials bis zur zweiten Ordnung tritt wegen \vec{\nabla}^2{1 \over r} = - 4 \pi \delta^{(3)}(\vec{r}) eine Delta-Funktion am Ursprung auf. Es ist daraus ersichtlich, dass nur die s-Orbitale korrigiert werden müssen, denn alle anderen Orbitale besitzen am Ursprung verschwindende Wellenfunktionen.

Alle diese Korrekturen lassen aus einer relativistischen Theorie des Wasserstoffatoms, ableiten. (s. Dirac-Gleichung)

Summe der FeinstrukturkorrekturenBearbeiten

Diese drei Effekte führen zusammen zur Feinstruktur, zu deren Beschreibung man einen neuen Gesamtdrehimpuls einführt (n,l,m_l,s,m_s)\to(n,l,s,J,m_J).

E_{FS} = -E_n{(Z\alpha)^2 \over n}\left( {1 \over j+ {1 \over 2}} - {3 \over 4n}\right) = O((Z\alpha)^4)

Die relativen Energieverschiebungen durch die Feinstruktur sind von der Größenordnung (Z \alpha)^2 = \left(\frac{Z}{137}\right)^2 . Auch wenn die QM-Beschreibung von Mehrelektronenatomen wesentlich komplexer ist, kann man daran schon erkennen, dass die Feinstruktur für schwerere Atome eine stärkere Aufspaltung bewirkt.

Offensichtlich hebt die Feinstrukturverschiebung die Energie-Entartung nicht vollständig auf. Zu festem n sind alle Niveaus mit gleicher Gesamtdrehimpuls-Quantenzahl j entartet. Bsp: n\ge 2,\; n{}^2P_{1\over 2} ,n{}^2S_{1\over 2}


TODO: Experimentelle Verifizierung

HyperfeinstrukturBearbeiten

Ebenso wie das Elektron besitzt das Proton einen Spin und damit ein intrinisisches magnetisches Moment. Da das Proton allerdings sehr viel schwerer ist, ist sein magnetisches Moment im Vegleich zum Elektron sehr viel kleiner. Dieses koppelt jedoch analog zur Spin-Bahnkopplung des Elektrons an den Bahndrehimpuls und man geht deshalb erneut zu neuen Quantenzahlen über:

(n,l,s,J,m_J)\to(n,l,s_e,J,s_p,F,m_F)


Lamb-ShiftBearbeiten

Der Lamb-Shift entsteht aus der elektromagnetischen Selbst-Wechselwirkung des Elektrons. Genauer gesagt wird er durch die Quantenkorrekturen auf den Elektron-Propagator in Anwesenheit einer externen Ladungsverteilung (dem Kern) verursacht. Aus diesem Grund ist der Lamb-Shift vor allem für solche atomaren Niveaus von Bedeutung, die eine höhere Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Kernnähe besitzen. Er bewirkt eine weitere Aufhebung der Entartung der Feinstrukturkomponenten. Die direkte Messung des Lambshifts ist aufgrund der sehr kleinen Energieverschiebung nur mit Dopplerfreier Spektroskopie möglich.

Eine Handwaving-Abschätzung des Korrekturterms geht davon aus, dass die Elektronenbahn durch häufige Emission von virtuellen Photonen (die ihrerseits in Fermion-Loops aufspalten können) "verschmiert" wird. Die Größenordnung dieser Verschmierung ist dabei wie typisch für QFT-Korrekturen durch die Compton-Wellenlänge gegeben, welche sich wiederum um einen Faktor \alpha vom Bohr'schen Radius unterscheidet.

Lamb-Retherford-ExperimentBearbeiten

Mit der "normalen" optischen Spektroskopie lässt sich der Lambshift nicht messen, da er von der Dopplerbreite überlagert ist. Lamb und Retherford griffen daher auf die Mikrowellen-Spektroskopie zurück (wodurch die Dopplerbreite vernachlässigbar wird da \propto \omega): Man schickt einen in einem Ofen durch thermische Dissoziation erzeugten Wasserstoffatomstrahl durch einen durchstimmbaren HF-Resonator und lässt ihn schließlich auf ein Wolframblech gelangen. Bevor die Atome in den Resonator fliegen, werden sie von einem Elektronenstrahl durch Stöße in den metastabilen 2 S_{1/2}-Zustand angeregt, dessen Lebensdauer länger als 1s ist. Gelangen diese angeregten Atome ungestört durch den Resonator, so ist ihre Anregungsenergie groß genug um am Wolframblech Elektronen herauszulösen die als Strom gemessen werden. Wird der Resonator jedoch so abgestimmt, dass die ihn durchfliegenden Atome vom 2 S_{1/2}- in den 2 P_{1/2}-Zustand angeregt werden, so hat der Elektronenstrom ein Minimum, da die 2 P_{1/2}-Atome sofort in den Grundzustand zurückfallen und somit weniger/keine Elektronen mehr aus dem Blech lösen können. Lamb und Retherford erreichten so eine Messgenauigkeit von 0,2 MHz.

Quelle: Demtröder, Experimentalphysik 3.

Retherf.gif

Das H-Atom in externen stationären FeldernBearbeiten

Stark-EffektBearbeiten

Setzt man das H-Atom einem konstanten schwachen externen E-Feld (hier in z-Richtung) aus so entspricht das einer Störung mit dem Störpotential:

\hat{V}_S = e\vec{E}\cdot \vec{r} =eEz

Zunächst stellt man fest, dass diese (zwar klein angenommene) Korrektur nicht nach unten beschränkt ist, denn

 V_S \to -\infty \mbox{ wenn } z\to-\infty

Theoretisch müssten also alle vormalig gebundenen Zustände metastabil werden und mit einer endlichen Wahrscheinlichkeit aus dem atomaren System hinaustunneln. Praktisch ist das vor allem für hochangeregte Zustände der Fall. (z.B. wird dies benutzt um Rydbergatome zu ionisieren und aus der Inonisationsenergie Informationen über das Rydbergniveau zu gewinnen, während die Lebensdauer von tiefen Zuständen sehr groß bleibt.

Quadratischer Stark-EffektBearbeiten

Aus der quantenmechanischen Störungstheorie ist bekannt, dass die erste Ordnung der Energiekorrektur nur aus Quantenzuständen mit der gleichen Ausgangsenergie berechnet wird. Das bedeutet, dass die Korrektur erster Ordnung auf einen Zustand |\psi_k\rangle ‘‘‘ohne Energieentartung‘‘‘ nur durch das Diagonalelement des Störoperators gegeben ist:

\Delta E^{(1)}_k = \langle \psi_k | \hat{V}_S | \psi_k \rangle

Die Wasserstoffzustände sind alle auch Eigenzustände des Paritätoperators, sie besitzen also eine definierte gerade oder ungerade Parität. Der Störoperator \sim z ist aber offensichtlich ungerade unter der Paritätsoperation.

Deshalb verschwindet die Energiekorrektur erster Ordnung eines nicht-entarteten Zustandes

Das gilt für den Wasserstoffgrundzustand, dessen Energiekorrektur deshalb erst von zweiter Ordnung im Störpotential ist. Da das Störpotential linear in der Feldstärke ist, führt dies zusammen mit der Formel für die Energiekorrektur zweiter Ordnung

\Delta E^{(2)}_k = \sum_{j\neq k}{ |\langle \psi_j | \hat{V}_S | \psi_k \rangle|^2 \over E^{(0)}_k - E^{(0)}_j}

in der das Störpotential quadratisch eingeht, zu einer Energieverschiebung \Delta E \sim \vec{E}^2.

Dies würde man auch im klassischen Bild erwarten: Ein externes elektrisches Feld induziert ein elektrisches Dipolmoment:

\vec{p} = const \cdot \vec{E}

und dies führt zu einer Energieverschiebung von:

 U = -\vec{p}\cdot \vec{E} = - const \vec{E}^2

Linearer Stark-EffektBearbeiten

Tritt Energieentartung auf, gilt die obige Argumentation nicht mehr, denn um die Energiekorrektur erster Ordnung zu berechnen, muss man zunächst den Störoperator auf dem Energie-Eigenraum diagonalisieren (das ist auch deshalb notwendig, weil nur dann sichergestellt ist, dass die Korrekturen zweiter Ordnung trotz divergenten Nenners endlich bleiben).

Die Energieverschiebung erster Ordnung wird dann für diese Linearkombinationen von Zuständen berechnet. Zum Beispiel zeigt sich bei Berechnung der Störung auf die H-Niveaus zur Hauptquantenzahl n=2, dass der Störoperator die beiden Zustände mit m_l=0 mischt. (Dies folgt aus den gleichen Auswahlregeln wie für die optischen Übergänge). Die Störzustände sind dann in |nlm_l\rangle Schreibweise:

 |\pm\rangle = {|2,0,0> \pm |2,1,0> \over \sqrt{2}} \mbox{ mit } \Delta E^{(1)}_\pm = \pm eEd

Die Größe d ergibt sich dabei aus der Berechnung des Erwartungswert der z-Koordinate.

Da die beiden verbliebenen n=2 zustände auch unter der Störung erhalten bleiben verschwindet aufgrund ihrer definitiven Parität (s.o.) die Energiekorrektur erster Ordnung.

Zeeman-EffektBearbeiten

Der Zeeman-Effekt tritt auf wenn sich das Wasserstoffatom in einem schwachen, externen Magnet-Feld befindet. Das Magnetfeld gibt eine Quantisierungsachse vor, um die magnetischen Momente des Spin und des Bahndrehimpuls' des Elektrons präzedieren. Dabei kann die Projektion der Drehimpulse auf die Feldachse nur die bekannten diskreten Werte annehmen:

l_z = \hbar m_l, m_l = -l, -l+1,...,+l,\; s_z = \pm {1 \over 2} \hbar

Bahndrehimpuls und Spin besitzen jeweils ein magnetisches Moment, allerdings mit unterschiedlichen gyromagnetischen Verhältnissen!

\vec{\mu}_l = -g_l {e \over 2m} \vec{l} = -g_l {\mu_B \over \hbar}\vec{l}, \; g_l=1

 \vec{\mu}_s = -g_s {e \over 2m} \vec{s}= -g_s {\mu_B \over \hbar}\vec{s}, \; g_s \approx 2

mit dem Bohrschen Magneton: \mu_B:= {e\hbar \over 2m}

Die Wechselwirkungsenergie eines magnetischen Moments \vec{\mu} mit dem Magnetfeld nimmt aufgrund des quantisierten Moments ebenfalls diskrete Werte an:

U_B = -\vec{\mu}\vec{B}

Anomaler Zeeman-EffektBearbeiten

Ein Problem bei der Behandlung des externen Magnetfelds ergibt sich dadurch, dass man für schwache Magnetfelder Energiekorrekturen erhält, die kleiner als die Korrekturen durch die LS-Kopplung sind. Eigentlich muss man deshalb zum Gesamtdrehimpult \vec{j} übergehen, jedoch führen hier die unterschiedlichen g-Faktoren von SPin und Bahndrehimpuls zu weiteren Komplikationen, da hierdurch das magnetische Moment von \vec{j} im Allg. nicht parallel zum Gesamtdrehimpuls ist.

Der volle zu behandelnde Hamiltonian hat dann die Form:

\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}_{FS} + {e \over 2 m}B\hat{l}_z+ {e \over m}B\hat{s}_z

Die beiden letzten Terme werden als Störung in der j-Basis behandelt:

\hat{H}_{B} = {e \over 2 m}B(\hat{l}_z + 2\hat{s}_z) = {e \over 2 m}B(\hat{j}_z + \hat{s}_z)

Durch einen Rechentrick, bei dem die Wechselwirkung zwischen magnetischen Momenten mit unterschiedlichem j vernachlässigt wird kann man den Erwartungswert dieses Störterms letztendlich schreiben als:

 \Delta E_{j,m_j,l,s} = {e \over 2 m}B \cdot \hbar m_j \cdot \left(1+ {j(j+1)-l(l+1)+s(s+1) \over 2j(j+1)}\right) = {e \hbar \over 2 m}B m_j g_j

mit dem Landé-Faktor:

 g_j =\left(1+ {j(j+1)-l(l+1)+s(s+1) \over 2j(j+1)}\right)

Die Aufspaltungsenergie ist also im Allgemeinen abhängig von den Drehimpuls-Quantenzahlen. Ein solches Multiplett mit konstantem Landé-Faktor, welches durch (n,j,l,s) charakterisiert ist, und welches trotz Feinstruktur ohne externes Feld noch entartet ist, spaltet sich dann in mehrere Linien auf. Die genaue Anzahl der aufgespaltenen Linien ist gerade 2j+1 was genau der Anzahl der verschiedenen Einstellungen von m_j entspricht.

Normaler Zeeman-EffektBearbeiten

Als normalen Zeeman-Effekt bezeichnet man den Spezial bei dem der Gesamtspin eines Atoms verschwindet. (Dies kann natürlich beim Wasserstoff gar nicht passieren, soll hier aber der Vollständigkeit halber behandelt werden.) Die Situation verhält sich dann wesentlich einfacher, weil das gesamte magnetische Moment und der Gesamtdrehimpuls durch den Bahndrehimpuls hervorgerufen werden. Der Störhamiltonian ist dann:

\hat{H}_B = {e \over 2 m} B \hat{l}_z

Da die normalen Atomaren Niveaus aufgrund der Rotationssymmetrie atomarer Systeme Eigenzustände von \hat{l}_z sind, ist die hieraus resultierende Energiekorrekture erster Ordnung exakt, es gibt keine Korrekturen höherer Ordnung.

Man erhält als Energieverschiebung:

\Delta E_{l,m_l} = {e \hbar \over 2 m} B m_l

Diese Formel gilt unabhängig von l, die Energieaufspaltung ist also im Unterschied zum anomalen Zeeman-Effekt für alle Niveaus gleich groß!

Paschen-Back-EffektBearbeiten

Wenn man anders als beim Zeeman-Effekt, das H-Atom einem sehr starken Magnetfeld aus, so dass die Wechselwirkungsenergie von Magnetfeld und den magnetischen Momenten von Spin und Bahndrehimpuls viel größer als die Feinstrukturaufspaltung ist, ändert sich die Beschreibungsweise wieder. Man kann dann die Feinstrukturkorrekturen vernachlässigen und stattdessen folgenden Hamiltonian nehmen:

\hat{H} = \hat{H}_0 + {e \over 2 m}B\hat{l}_z+ {e \over m}B\hat{s}_z

Da die Wasserstoff-Eigenfunktionen auch Eigenfunktionen der Drehimpulse sind, ist auch hier die Energiekorrektur erster Ordnung exakt.

Man erhält als Energieverschiebung:

\Delta E_{m_s,m_l} = {e \hbar \over 2 m} B (m_l + 2m_s)

Wichtige Prüfungsfragen (Dubbers)Bearbeiten

  • Radial- u. Winkelfunktionen malen
  • Wie kann man das Wasserstoff Spektrum messen?
  • Wie kann man reinen Wasserstoff erhalten?
  • Warum hat Deuteron nur einen angeregten Zustand?

Beantwortete Fragen:

  • LS-Kopplung herleiten: siehe Feinstrukturkorrekturen
  • In welchem Energie/Frequenzbereich befinden sich die Spektralinien?

Die Rydberg-Konstante entspricht genau der Ionisationsenergie eines Elektrons im Grundzustand. Alle anderen Übergänge haben eine kleinere Energie.

Lyman-Serie: (Endzustand hat n=1) UV-Licht

Balmer-Serie: (Endzustand n=2) sichtbares Licht

Paschen-Serie (->n=3) Bracket-Serie (->n=4) Pfund-Serie (->n=5) infrarotes Licht

Eine gute Ressource dazu findet man bei Wikipedia[1]

  1. http://de.wikipedia.org/wiki/Balmer-Serie

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