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Drehimpuls-Korrekturen

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Erfährt ein System eine Energiekorrektur, die allein aus einem Kopplungsterm von zwei Drehimpulsen besteht, so ist die über alle möglichen Zustände aufsummierte Energiekorrektur null.

\hat{V} \sim \hat{\vec{j}}_1 \cdot \hat{\vec{j}}_2

Wenn der Betrag der einzelnen Drehimpulse vorgegeben ist, kann sich diese Energiekorrektur also nur durch die relative Orientierung der Vektoren zueinander ändern. Klassisch rechnet integriert man ganz einfach für beide Vektoren über alle möglichen Orientierungen:

\Delta E_{tot} =  \int d\Omega_1 \int d\Omega_2 |\vec{j}_1||\vec{j}_2|\cos(\vec{j}_1,\vec{j}_2) = \int d\Omega_1 \int_{0}^{\pi}d\theta \sin(\theta) 2\pi  |\vec{j}_1||\vec{j}_2|\cos(\theta) = 8\pi^2 {1 \over 2} [ \sin^2(\theta)]_0^\pi = 0

Beim zweiten Gleichheitszeichen wurde die Winkelintegration über die Richtung des zweiten Vektors durch die WInkelintegration über den relativen Raumwinkel der Vektoren ersetzt. Es ist auch anschaulich klar, das zu jeder relativen Orientierung der Vektoren auch genau eine Orientierung existiert, bei der das Skalarprodukt sein Vorzeichen wechselt (indem man einfach den einen Vektor am Ursprung spiegelt).

Quantenmechanisch ist die Sache schwerer zu rechnen, da man keine kontinuierlich einstellbaren relativen Winkel hat, aber effektiv passiert genau das gleiche.

Der Erwartungswert des Kopplungsterms lässt sich durch Einführung eines Gesamtdrehimpuls' \hat{\vec{J}} = \hat{\vec{j}}_1 +\hat{\vec{j}}_2 berechnen als:

\langle \hat{V} \rangle_{J,j_1,j_2}  \sim \langle\hat{\vec{j}}_1 \cdot \hat{\vec{j}}_2\rangle_{J,j_1,j_2} 
\sim J(J+1)-j_1(j_1+1)-j_2(j_2+1)

Berücksichtigt man nun wieviele Werte J annehmen kann (2 min(j_1,j_2)+1) und dass die einzelnen durch (J,j_1,j_2) gekennzeichneten Zustände noch (2J+1)-fach entartet sind:

J \in \{ J_k := |j_1 - j_2| + k, k=0,1,2, ... (2 min(j_1,j_2))\}

Die über alle möglichen Zustände unter Berücksichtungung der Entartung aufsummierten Energiekorrekturen sind dann:

\Delta E_{tot} \sim \sum_{k=0}^{2 min(j_1,j_2)} \left\{ (J_0 + k) (J_0 + k +1)-\;j_1(j_1+1)-\;j_2(j_2+1)\right\} \times (2(J_0 + k)+1) = 0

Dies allgemein zu zeigen erfordert eine längere Rechnung bei mehrfacher Verwendung elementarer Summenformeln über Potenzen des Summationsindex' (zB kleiner Gauss). Man kann dies aber sehr schnell für einige einfache Beispiele durchrechnen.

Die Konsequenz dieses Sachverhaltes ist, dass sich bei der Feinstruktur zumindest die Korrekturen über die LS-Kopplung zu null summieren. Dies gilt allerdings nicht für die anderen FS-Korrekturen, so dass sich die Feinstruktur insgesamt nicht zu null summiert. Brücksichtigt man aber bei der Hyperfeinstruktur nur die Kopplung von Kernspin mit Gesamtspin, so summieren sich alle Energiekorrekturen zu null.

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