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Einleitung[]

Bei diesem Modell stellt man sich vor, dass sich die Valenzelektronen der Kristallatome frei durch den Kristall bewegen können. Das Potential für ein solches Leitungselektron ist also innerhalb der Probe konstant und wird am Probenrand durch eine Potentialbarriere begrenzt (Kastenpotential).

In dieser Näherung werden u.a. gut beschrieben:

  • Ohmsches Gesetz
  • Wärmekapazität von Metallen
  • thermische Leitfähigkeit von Metallen

Rechtfertigung der Annahmen[]

  • Ein Leitungselektron wird von den Atomrümpfen eines periodischen Gitters nicht abgelenkt, da sich Materiewellen in einem periodischen Potential ungehindert ausbreiten können.
  • Da sich wegen des Pauliprinzips die Leitungselektronen in verschiedenen Orbitalen aufhalten müssen, streuen sie untereinander nur selten.
  • Die elektrostatische Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen wird von den übrigen Elektronen weitgehend abgeschirmt.

Einelektronennäherung[]

Wir werden uns wiederholt der sog. Einelekronennäherung bedienen. Dabei greifen wir ein Elektron heraus und beschreiben seine Bewegung im effektiven Potential aller anderen Elektronen und der Atomrümpfe. Die so erhaltenen Lösungen bezeichnen wir als Orbitale. Die Gesamtlösung konstruiert, indem man alle N Elektronen gemäß dem Pauliprinzip N unterschiedlichen Orbitalen zuordnet. Dieses Orbitalmodell kann jedoch nur dann exakt sein, wenn es keine Wechselwirkung zwischen den einzelnen Elektronen gibt. Daher können Supraleitung und Magnetismus mit dieser Näherung nicht beschrieben werden.

Zustandsdichte[]

Wir berechnen zunächst die Zustandsdichte pro Volumen für ein Fermigas. Dazu nehmen wir die Elektronen als ebene Wellen an, was in Verbindung mit der freien stationären Schrödingergleichung die Energiewerte

ergibt. Indem man die endliche Ausdehnung der Probe () berücksichtigt, erhält man mit periodischen Randbedingungen für die Komponente des Wellenvektors die möglichen Werte

wo eine ganze Zahl ist. Im Impulsraum findet man die gleiche Verteilung der -Vektoren, wie für Phononen,

.

Man erhält also für die Zustandsdichte

,

wobei die nötigen Schritte analog zur Berechnung der Zustandsdichte der Phononen durchgeführt werden. Im Gegensatz dazu ist die Gruppengeschwindigkeit allerdings richtungsunabhängig, sodass die Fläche gleicher Energie im Impulsraum eine Kugeloberfläche darstellt, es ist also

.
.

Für die Zustandsdichte pro Volumen finden wir also das Ergebnis

.

Fermi-Größen[]

Als Fermionen gehorchen die Elektronen der Fermi-Dirac-Statistik, die Besetzung der Zustände bei der Temperatur ist also gegeben durch

,

mit dem chemischen Potential , das die Energie angibt, die nötig ist, um eine neues Elektron in das "Gas" einzubringen. Da die Eigenschaften des Elektronengases stark davon abhängen, bis zu welcher Energie die Zustände besetzt sind, definiert man einige Größen, die mit dieser Energie zusammenhängen.

  • Die Fermi-Energie ist die Energie, bis zu der alle Zustände lückenlos aufgefüllt sind. Bei ist dies bis Fermiverteilung eine Stufenfunktion, mit der Stufe bei , in diesem Fall ist also und die Fermi-Energie lässt sich mit der Elektronendichte ,
,

berechnen zu

.

Damit lassen sich nun einige Größen definieren, die in späteren Überlegungen von Nutzen sein werden, denn zu den meisten Prozessen tragen nur die Elektronen nahe der Fermi-Kante, also in der Umgebung der Fermi-Energie bei.

  • Fermi-Impuls
  • Fermi-Geschwindigkeit
  • Fermi-Temperatur
  • Die Zustandsdichte an der Fermi-Kante
  • Die Fermi-Kugel ist die vom Fermi-Impuls im Impulsraum aufgespannte Kugel, ihre Oberfläche ist die Fermi-Fläche.

Berechnungen von Fermi-Temperaturen zeigen, dass diese weit über der jeweiligen Schmelztemperatur liegen (Bsp: bei , oder bei . Daher kann das Verhalten des Festkörpers immer als nahe dem absoluten Nullpunktes betrachtet werden. Bei höheren Temperaturen weicht die Fermi-Kante auf und hat eine Breite von , es wird also nur der Bruchteil der Elektronen thermisch angeregt.

Spezifische Wärme[]

Zur Überprüfung der Anwendbarkeit der Annahme des freien Elektronengases kann man den elektronischen Beitrag zur spezifischen Wärme berechnen. Dafür ist die innere Energie, genauer der Teil der inneren Energie , der von der Temperatur abhängt. Für eine erste Abschätzung kann man annehmen, dass die thermisch anregbaren Elektronen die Energie aufnehmen, also

.

Die spezifische Wärme pro Volumen ist also näherungsweise

.

Für eine genaue Berechnung der spezifischen Wärme ist die zu berechnen, was über das Integral

beinhaltet, was für analytisch nicht lösbar ist. Für ergibt sich jedoch in guter Näherung

mit der Sommerfeld-Konstante . Man sieht, dass die Näherung schon recht gut war, und auf jeden Fall alle Abhängigkeiten richtig beinhaltete. Die gesamte spezifische Wärme des Festkörpers ist also

Für hohe Temperaturen dominiert wegen der hohen Fermitemperatur hierbei der Gitterbeitrag, bei tiefen Temperaturen wird wegen der starken Temperaturabhängigkeit des Gitteranteils der elektronische Beitrag überwiegen. Diese Berechnung basiert auf der Annahme des freien Elektronengases und ist deshalb als Näherung zu sehen. Diese Näherung ist für verschiedene Materialien unterschiedlich gut. Da ist, beschreibt man Abweichungen von dieser theoretischen Berechnung durch eine thermische effektive Masse , die durch definiert ist. Vor allem für Übergangsmetalle weicht stark von der Elektronenmasse ab, da dort die Näherung des freien Elektronengases wegen teilweise gefüllter -Schalen nicht mehr so gut ist. In Schwerionensystemen kann werden.

Abgeschirmtes Coulomb-Potential[]

In Metallen ist der mittlere Abstand der Leitungselektronen sehr klein (wenige , z.B. Cu: ), sodass nicht unbeträchtliche Coulombenergien auftreten müssten, die in der Größenordnung der kinetischen Energie des Fermigases liegen. Dass die Annahme des freien Fermigases dennoch anwendbar ist, hat verschiedene Gründe, siehe Rechtfertigungen, auf die Abschirmung des Coulombpotentials soll hier noch einmal gesondert eingegangen werden.

Die elektrostatische Wechselwirkung zwischen zwei Elekronen wird von den restlichen weitgehend abgeschrimt. Anschaulich gesagt wird das Coulompotential eines Elektrons, in dem sich ein anderes Elektron befindet von den anderen Elektronen abgeschwächt. Diese Situation lässt sich durch ein Potential in Form eines Yukawa Potentials beschreiben.

,

mit der Thomas-Fermi-Abschirmlänge . Die Reichweite dieses Potentials ist sehr viel geringer als die des Coulomb-Potentials.

Mit dieser Überlegung kann auch bestimmt werden, ob ein Material mit bestimmter Gitterkonstante und Elektronendichte ein Metall oder ein Isolator ist. Denn auch das Potential der Atomrümpfe wird abgeschirmt (übrigens genauso wie das von Defekten etc.), was zu einer höheren kinetischen Energie der Elektronen führt. Die Zustände der Elektronen gewinnen so an Energie, bis sie nicht mehr gebunden sind, die Substanz ist dann ein Metall.

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