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Fabry-Perot-Resonator

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Die Transmission von durch zwei planparallele Spiegel sehr hoher Reflektivität im Abstand d hängt stark von seiner Wellenlänge ab. Anschaulich ist klar, dass Lichtwellen, deren halbe Wellenlänge genau in den Resonator passt, im Resonator konstruktiv interferieren.

TransmissionBearbeiten

Wenn R und T Reflektivitäts- und Transmissionskoeffizient der beiden (als identisch angenommenen) Spiegel sind, muss gelten: 1=T+R, damit die Energie der Welle erhalten ist.

Man setzt nun eine einlaufende Welle als U^{(0)}=U_0 exp(i(kz-\omega t)) an. Man betrachtet nun die Amplitude des Lichts, das nach n Umläufen (d.h. 2n Reflektionen im Resonator) aus dem Resonator austritt am Ort des hinteren Spiegels. Eine Reflektion führt bei der Amplitude zu einem Faktor von \sqrt{R}, denn die Intensität (und damit der Energiefluss) ist proportional zum Absolutquadrat der Amplitude, die anfängliche und letztendliche Transmission in und aus dem Resonator jeweils zu einem Faktor \sqrt{T}=\sqrt{1-R}

U_t^{(n)} = T U_0 R^n e^{i(k2d - \omega t)}

Die letztendlich ausgekoppelte Intensität ist eine Summe über alle reflektierten Wellen:

U_t^{(tot)} = \sum_{n=0}^{\infty} U_t^{(n)} = T U_0 e^{-i\omega t} \sum (R e^{2ikd})^n = T U_0 e^{-i\omega t} {1 \over 1 - R e^{2ikd}}

Die Gesamttransmission ergibt sich als Verhältnis von einlaufender Intensität zu auslaufender Intensität:

T_{FPR} = \left| { U^{(0)} \over U_t^{(tot)}} \right|^2 = {(1-R)^2 \over 1-2R\cos(2kd) + R^2}

Für geringe Reflektivität 0<R \ll 1 geht die Transmission gegen 1, wie man erwarten würde. Für sehr hohe Reflektivitäten führt man die Finesse als eine neue Größe ein:

\mathcal{F} = {\pi \sqrt{R} \over 1-R} \gg 1

Die Gesamttransmission lässt sich damit umformen zu:


T_{FPR} =  (1 + {4 \mathcal{F}^2 \over \pi^2}\sin^2(kd))^{-1}

Für große Finessen verschwindet diese Funktion fast überall, nur um die Nullstellen der Sinusfunktion im Nenner ergeben sich Transmissionspeaks.

k = {2\pi \over \lambda} = {2\pi \nu \over c}

\lambda_n = {2d \over n} \Rightarrow \nu_n = {n c \over 2d}

Das führt zur freien spektralen Breite (Breite der Transmissionsminima):

\Delta \nu = {c \over 2d}

Transmission.png

Frequenzabhängige Transmission bei verschiedenen Finessen

Man kann die Transmission bei einem Peak \nu = \nu_n + \delta\nu = n \Delta \nu + \delta\nu entwickeln:

\sin(kd) = \sin({2\pi \nu \over c}d) = \sin({2\pi (n \Delta \nu + \delta\nu ) \over c}d) = (-1)^n \sin({2\pi \delta \nu d\over c}) = (-1)^n \sin({\pi \delta \nu \over \Delta \nu}) \approx (-1)^n {\pi \delta \nu \over \Delta \nu}

\Rightarrow T_{FPR}(\nu_n + \delta \nu) \approx  (1 + {4 \mathcal{F}^2 \over \pi^2}{\pi \delta \nu \over \Delta \nu}^2)^{-1} = \frac{1}{ 1 + \mathcal{F}^2 \left(\frac{2 \delta \nu }{\Delta \nu}\right)^2}

Daran kann man die Halbwertsbreite ablesen:

T_{FPR}(\nu_n + {1 \over 2}(\delta \nu)_{1/2}) = {1 \over 2} \Leftrightarrow (\delta \nu)_{1/2} = {\Delta \nu  \over \mathcal{F}}

Da die freie spektrale Breite für viele Anwendungen nicht zu klein gewählt werden sollte, muss man stattdessen die Finesse erhöhen um möglichst scharfe Transmissionspeaks zu erhalten. Heutzutage sind Finessen größer als 1000 möglich.

Kontinuierliche ModenselektionBearbeiten

Es ist möglich einen Fabry-Perot-Resonator mit variabler Dicke bauen und durch Variation des Durchmessers die resonanten Lichtmoden verstellen, allerdings muss der Aufbau höchst stabil sein, da schon geringe Schwankungen der Spiegel die Transmission maßgeblich beeinflussen können. Es ist deshalb einfacher einen Resonator mit fester Dicke zu bauen, und den Lichtweg im Resonator dadurch zu variieren, dass man ihn schräg relativ zur optischen Achse stellt. Das Licht benötigt dann für einen Umlauf im Resonator entsprechend länger.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Brechungsindex des optischen Mediums im Resonator über dessen Druck zu variieren. Dadurch verändert sich die Wellenlänge des Lichts im Resonator.

Da Licht aus einer einzigen Quelle auf den ausgedehnten Resonatorspiegel auch unter verschiedenen Winkeln fallen kann, ist klar dass man den Fabry-Perot-Resonator auch verwenden kann um ein Spektrum aufzuspalten: Verschiedene Wellenlängen können unter verschiedenen Winkeln die Resonanzbedingung erfüllen. Die obige Rechnung gilt dann allerdings nicht mehr so einfach, da ein Strahl nach einem Umlauf nicht mehr an der gleichen Stelle austritt wie ein nicht reflektierter Strahl. Man berechnet stattdessen den relativen Gangunterschied zu anderen Strahlen, die an der Stelle austreten und kommt zu folgendem Ergebnis.

Für l \cdot \lambda = 2 d  \sqrt{n_{F}^2 - \sin^2\alpha},\; l\in \mathbb(Z) erhält man unter dem Austrittswinkel \alpha (vorausgesetzt man kann die Dicke des Resonators im Vergleich zum Abstand zum Schirm/Detektor vernachlässigen) ein Interferenzmaximum der Wellenlänge \lambda.

Es ist anhand der Rotationssymmetrie um die Flächennormale des Resonators klar, dass das Interferenzbild des Fabry-Perot-Resonators Ringe aufweist.

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