Fermigasmodell

Einleitung[]

Man kann die Nukleonen im Kern näherungsweise als freies Fermigas beschreiben. Voraussetzung hierfür ist, dass sich die Nukleonen unabhängig unter Berücksichtigung des Pauliprinzips bewegen (also nicht stoßen) und dass das Potential für ein herausgegriffenes Nukleon als mittleres Potential über die übrigen Nukleonen gegeben ist. Dieses wird im Fermigasmodell diesem als Topfpotential angenommen.

Durch das Modell werden folgende Dinge mehr oder weniger gut beschrieben:

Impuls der Fermionen
Bindungsenergien (wo wird das im povh hergeleitet??)
Volumen- und Asymmetrieterm in der Massenformel

Eine Verfeinerung des Fermigasmodells ist das Schalenmodell.

Rechtfertigung[]

Man könnte sich fragen, wie man denn vom Flüssigkeitströpchenmodell der Massenformel plötzlich auf ein Modell kommt, in denen Nukleonen als ideales Gas beschrieben werden. Der scheinbare Widerspruch wird gelöst, wenn wir uns die Eigenschaften von Spin-1/2-Teilchen in einem Potentialtopf anschauen. Hier sind im Grundzustand alle erlaubten Zustände von genau einem Fermion besetzt, d.h. die Zustände stören sich nicht gegenseitig.

Fermi-Impuls[]

Berechnet man den Fermiimpluls der Nukleonen für einen Kern im Grundzustand (T=0), so kommt man auf einen Wert von 250 MeV/c, der sich deckt mit dem experimentellen Wert aus der quasiinelastischen Streuung.

Zur Berechnung muss man dabei zunächst die Zustandsdichte pro Impulsintervall $dn=\frac{\mathrm{Impulskugelschale} \cdot \mathrm{Volumen}\cdot dp}{h^3}=\frac{4 \pi p^2 dp}{h^3}V$ bis zum Fermiimpuls $p_F$ integrieren, dann für V das Kernvolumen, das proportional zu Massenzahl A ist, einsetzen und schließlich noch berücksichtigen, dass jeder Zustand 2 Fermionen beherbergen kann.

Asymmetrieterm[]

Wir berechnen hierzu die gesamte kinetische Energie des Kerns, bestehend aus den kinetischen Energien der Nukleonen und stellen dann fest, dass sie für N=Z am kleinsten ist, d.h. dass dann die Bindungsenergie am größeten ist.

So wie schon der mittlere quadratischen Impuls durch $\langle P^2 \rangle=\frac 35 P^2_F$ gegeben war, so ist auch die mittlere kinetische Energie pro Nukleon durch $\langle E_k \rangle=\frac 35 E_{F}=\frac 35 \frac {p^2_F}{ 2M}$ gegeben. Wie rechnen nun die gesamte kinetische Energie $E^{ges}_k(N,Z)=N \langle E^{Neutron}_k \rangle+Z \langle E^{Proton}_k \rangle$ aus und erhalten eine Formel in Abhängigkeit von N und Z, die ein Minimum bei N=Z aufweist. Taylort man diese Formel um das Minimum nach N-Z, so erhält man in etwa $E^{ges}_k(N,Z) \propto A+ \frac{(N-Z)^2}{A}+...$ . Der erste Term entspricht dabei dem Volumenterm, der 2. dem Asymmentrieterm.