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Die Lorentz-Gruppe stellt eine umstrittene mathematisch-physikalische Struktur dar, die sich auf unterschiedlichen Ebenen der mathematischen Abstraktion präsentiert und vorgibt oder auch zeigt, dass bezüglich der Lorentz-Transformation die Gruppenaxiome erfüllt werden.

GruppeBearbeiten

Als Gruppe allgemein wird eine Menge G bezeichnet, auf der eine Verknüpfung # erklärt ist und für die die Gruppenaxiome gelten:

G1: Für alle g,h € G gilt die Abgeschlossenheit mit g # h € G.

G2: Für alle g,h,j € G gilt das Assoziativgesetz mit (g # h) # j = g # (h # j).

G3: Es gibt ein Einselement e aus G, so dass für alle g € G die Gleichung e # g = g # e = g gilt.

G4: Zu jedem g € G gibt es ein inverses Element g^-1 aus G, so dass die Gleichung g^-1 # g = g # g^-1 = e gilt.

Lorentz-Gruppe einfachBearbeiten

Eine einzelne Lorentztransformation ist eine Abbildung LT von R^4 nach R^4, welche den Spaltenvektor (c*t,x,y,z) nach dem transformierten Vektor (c*t',x',y',z') abbildet. Wobei die Abbildungsvorschrift besagt, dass die 4x4-Matrix welche dem Gleichungssystem zugeordnet war mit dem Spaltenvektor (c*t,x,y,z), d.h. einer 4x1-Matrix, mulitpliziert wird, so dass dieses Produkt dann dem transformierten Vektor (c*t',x',y',z'), d.h. einer 4x1-Matrix, entspricht.

Somit:

LT: R^4 -> R^4
(c*t, x, y, z) -> (c*t‘, x‘, y‘, z‘) = 4x4-Matrix_LT*(c*t, x, y, z)

Wobei die 4x4-Matrix die nachfolgend dargestellte Form hat:

...Y....-Y*ß.....0......0...
.-Y*ß.....Y......0......0...
...0......0......1......0...
...0......0......0......1...

Die Lorentz-Transformationen unterscheiden sich (sind abhängig) von den Boostgeschwindigkeiten v, v1:

LT_v: R^4 -> R^4
(c*t, x, y, z) -> (c*t‘, x‘, y‘, z‘) = 4x4-Matrix_LT_v*(c*t, x, y, z)

und

LT_v1: R^4 -> R^4
(c*t, x, y, z) -> (c*t‘, x‘, y‘, z‘) = 4x4-Matrix_LT_v1*(c*t, x, y, z)

Da die Verknüpfung # zweier LTs als Hintereinanderausführung zu denken ist, kann nunmehr eingefügt werden:

LT_v_v1: R^4 -> R^4
(c*t, x, y, z) -> (c*t``, x``, y``, z``) = 4x4-Matrix_LT_v*4x4-Matrix_LT_v1*(c*t, x, y, z)

Somit reduziert sich die Verknüpfung # zweier Lorentztransformationen auf die Matrizenmultiplikation, welche anhand eines Beispiels mit 2x2-Matrizen dargestellt werden soll:

2x2MatrixLtMultplikation

Matrizenmultiplikation

2x2MatrixMultip

Rechenbeispiel

2x2MatrixResult

Resultat

C*t’’=Y*Y1*(1+ß*ß1)*c*t-Y*Y1*(ß+ß1)*x

X’’=-Y*Y1*(ß+ß1)*c*t+Y*Y1*(1+ß*ß1)*x

Da jede Lorentztransformation von der mathematischen Struktur gleich bleiben soll, können nachfolgend Y2 und Y2*ß per Koordinatenvergleich bestimmt und danach die Geschwindigkeit v2 berechnet werden:

c*t= y2*c*t-y2*ß2*x

x=-y2*ß2*c*t+y2*x

Somit würde dann gelten: Y2*ß2=Y*Y1*ß+Y*Y1*ß1=Y*Y1*(ß+ß1)

Y2=Y*Y1+Y*Y1*ß*ß1=Y*Y1*(1+ß*ß1)

Bildet man den Quotienten:

Y2*ß2/Y2=ß2=Y*Y1*(ß+ß1)/Y*Y1*(1+ß*ß1)=(ß+ß1)/(1+ß*ß1)

Somit:

ß2=V2/c=(v/c+v1/c)/(1+v/c*v1/c)=(v+v1)/c*(1+v*v1/c²)

Also:

V2=(v+v1)/(1+v*v1/c²) diese Formel wird als Relativistische Addition bezeichnet und stellt den Rechen-Algorithmus für die Verknüpfung der Gruppenelemente, d.h. der LTs, dar, so dass geschrieben werden kann: LT_v2 = LT_v # LT_v1.

Somit ergibt sich die Formel für die "Relativistische Addition" auch aus der Verknüpfung von zwei LTs per Matrizenmultiplikation.

Beispiel Prüfung GruppenaxiomeBearbeiten

G1 (Abgeschlossenheit):

Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung zweier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten

v=1/2c und v1=1/3c

wiederum eine LT ergibt, die Element der Menge G ist.

V2=(v+v1)/(1+v*v1/c²)

v2=(1/2c+1/3c)/(1+1/2c*1/3c/c²)=5/6c/(1+1/6)=5/6c:7/6=5/7c

Somit gilt: LT_1/2c # LT_1/3c = LT_5/7c, d.h. LT_5/7c € G

und somit gilt in diesem Fall G1 "Abgeschlossenheit".

G2 (Assoziativgesetz):

Es soll überprüft werden, ob die Verknüpfung dreier Lorentz-Transformationen mit den Geschwindigkeiten

v0 = 1/3c, v1 = 1/2c und v2 = 4/7c

das Assoziativgesetz:

LT_1/3c # (LT_1/2c # LT_4/7c) = (LT_1/3c # LT_1/2c) # LT_4/7c

erfüllt.

v12 = (v1 + v2)/(1 + v1*v2/c²)

v12 = (1/2c + 4/7c)/(1 + 1/2c*4/7c/c²) = 5/6c

v012 = (v0 + v12)/(1 + v0*v12/c²)

v012 = (1/3c + 5/6c)/(1 + 1/3c*5/6c/c²) = 21/23c

v01 = (v0 + v1)/(1 + v0*v1/c²)

v01 = (1/3c + 1/2c)/(1 + 1/3c*1/2c/c²) = 5/7c

v012 = (v01 + v2)/(1 + v01*v2/c²)

v012 = (5/7c + 4/7c)/(1 + 5/7c*4/7c/c²) = 21/23c

Also gilt: LT_1/3c # (LT_1/2c # LT_4/7c) = LT_21/23c

und

(LT_1/3c # LT_1/2c) # LT_4/7c = LT_21/23c


G3 (Neutrales Element):

LT_0 # LT_v = LT_v # LT_0 = LT_v


G4 (Inverses Element):

LT_(-v) # LT_v = LT_0

Siehe auchBearbeiten

Lorentz-Transformation

Relativitätstheorie

QuellenBearbeiten

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