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Magnetische Spinresonanz

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EinleitungBearbeiten

Die Wechselwirkung hochfrequenter magnetischer Felder mit Teilchenspins hat eine große Bandbreite an Anwendungen z.B. in der Medizin , der Spektroskopie (beides Kernspinresonanz) oder bei der Atomuhr (Elektronenspinresonanz). Deshalb finden sich die physikalischen Grundlagen der Anwendungen in manchen Physikdiplomprüfungen wieder und sollen hier kurz vorgestellt werden.

Spin Wechselwirkung mit B-FeldBearbeiten

Mit dem Spin eines Teilchens geht immer ein magnetisches Moment einher

\vec{\mu}=\gamma\vec{s},

mit dem gyromagnetischen Verhältnis

\gamma= g\frac{q}{2m},

in das Ladung und Masse des Teilchens eingehen (und der Landé-Faktor g). Das Teilchen befinde sich nun in einem externen magnetischen Feld \vec{H}_0, das zunächst homogen sein soll und die Quantisierungsachse vorgibt. Es wirkt eine Kraft auf das magnetische Moment, die im klassischen Fall eine Ausrichtung parallel zum Feld bewirken würde. Da aber der Spin nur quantisierte Zustände einnehmen kann, in denen er nicht parallel zum Feld steht, wirkt die Kraft als Drehmoment und bewirkt eine Präzession des Spins um die Richtung des magnetischen Feldes. Dies geschieht mit der Frequenz

\omega_L=\gamma H_0,

der sogenannten Larmorfrequenz. Wegen dieser Präzession zeigt der Erwartungswert des magnetischen Moments in Richtung des B-Feldes. Im thermischen Gleichgewicht ist also die Magnetisierung der Probe

\vec{M}=\sum_{Probe} \vec{\mu},

die wegen des kleinen Betrags der einzelnen magnetischen Momente die einzig messbare Größe darstellt, parallel zum magnetischen Feld ausgerichtet. Strahlt man nun senkrecht zu \vec{H}_0 noch ein zweites, hochfrequentes magnetisches Feld \vec{H}_1 ein, so ergibt sich aus der Überlagerung der Magnetfelder ein effektives Feld. Es stellt sich heraus, dass falls die Frequenz von \vec{H}_1 gerade gleich der Larmorfrequenz ist, die sich aus dem statischen Magnetfeld für die Spins ergibt, das effektive Feld keine Komponente in Richtung von \vec{H}_0 hat, also \vec{H}_{eff}= \vec{H}_1. In diesem Falle sehen die Spins \vec{H}_1 als statisch, denn sie rotieren ja ebenfalls mit \omega_L um die Achse \vec{H}_0. Deshalb kann man nun, aus den gleichen Gründen wie oben für \vec{H}_0, schließen, dass die magnetischen Momente um \vec{H}_1 präzedieren, mit der Frequenz \omega_1=\gamma H_1. Schaltet man \vec{H}_1 nur für kurze Zeiten t dazu, sodass in der Präzession noch keine ganze Periode durchschritten wurde, so kann man die Magnetisierung um einen beliebigen Winkel \phi=\omega_1\cdot t gegen ihre Ursprüngliche Lage auslenken (90°-, 180°-Pulse). Die quantenmechanische Erklärung für dieses Verhalten ist, dass die Larmorfrequenz gerade die für den Spinumklapp benötigte Energie liefert. Deshalb steigt die Anzahl der Spins die einen negativen Projektion auf die Quantisierungsachse haben und die Komponente der Magnetisierung in \vec{H}_0 -Richtung nimmt zunächst ab, im Extremfall nimmt sie ihren alten Wert in die entgegengesetzte Richtung an. Interessanter Weise ergibt die quantenmechanische Rechnung, bei der die Zeitentwicklung des Spinoperators ausgewertet wird, das exakt gleiche Ergebnis, wie die hier angeführte semiklassische Überlegung.

Die bisherigen Überlegungen sind allgemein für alle Spintragenden Teilchen gültig. Elektronenspinresonanz (ESR) und Kernspinresonanz (NMR - nuclear magnetic resonanz) unterscheiden sich wegen der unterschiedlichen Massen gerade im gyromagnetischen Verhältnis, und somit in den Frequenzbereichen, in denen die Resonanz auftritt. Für Elektronen ist \gamma =176 GHz\cdot T^{-1} und für Protonen \gamma = 267 MHz\cdot T^{-1}. Es bleibt noch zu erwähnen, dass sich dadurch die Spinmomente von Elektronen auch in viel kleinerer Anzahl messen lassen.

Relaxtionszeiten - MRTBearbeiten

Wie schon erwähnt, richtet sich die Magnetisierung in Abwesenheit eines resonant einstrahlenden Feldes im thermischen Gleichgewicht parallel zum statischen Magnetfeld aus. Wurde die Magnetisierung "ausgelenkt", so findet der Übergang ins thermische Gleichgewicht durch zwei verschiedene Prozesse statt, die verschieden schnell ablaufen und durch ihre charakteistischen Zeiten, die Relaxationszeiten, beschrieben werden.

  • Spin-Spin Relaxationszeit

Im Semiklassischen Bild präzedieren die magnetischen Momente um die Achse des statischen Feldes. Wurden sie von einem hochfrequenten Feld aus dem thermischen Gleichgewicht gebracht, so geschieht diese Präzession in Phase, wodurch sich ein maximaler Beitrag zur Magnetisierung senkrecht zum statischen Feld (im Folgenden "transversale (Magnetisierungs)Komponente) ergibt. Aufgrund einer gewissen Verteilung der Präzessionsfrequenz geht diese Phasenbeziehung ohne hochfrequentes Feld verloren, die transversale Komponente wird mit der Spin-Spin Relaxationszeit exponentiell abfallen.

  • Spin-Gitter Relaxationszeit

Die Komponente der Magnetisierung parallel zum statischen Feld (parallele Komponente) hängt davon ab, welcher Anteil der Spins eine negative z-Komponente hat. Beim Übergang ins thermische Gleichgewicht wird die Energie zum umklappen der Spins von der Umgebung des Teilchens (Gitter) bezogen und nähert sich ebenfalls exponentiell mit der Spin-Gitter Relaxationszeit dem Gleichgewichtswert.

Beide Zeiten sind Materialabhängig und werden deshalb für die Gewebezuordnung bei der Magnetresonanztomografie (MRT, a.k.a. Kernspintomografie) benutzt.

Bei der Messung der transversalen Magnetisierung ergibt sich wegen nicht vermeidbarer Feldinhomogenitäten zu einem schnelleren Dephasierung als nur durch die Spin-Spin Wechselwirkung bedingt. Durch die spezielle Spin Echo Messtechnik, bei der das hochfrequente Feld in einer geeigneten Folge von Pulsen eingestrahlt wird, kann der gesuchte Exponentielle Abfall gemessen werden.

KernresonanzspektroskopieBearbeiten

Für die oben angeführten Formeln zur Präzession der magnetischen Momente wurde angenommen, dass die Spins das äußere Feld direkt sieht. Für den Kernspins eines Atoms trifft dies jedoch nicht ganz zu, denn die Elektronenhülle erzeugt ein Feld proportional zu \vec{H}_0, sodass der Kernspin ein abgeschirmtes (kleineres) Feld erfährt. Diese Abschirmung wird chemische Verschiebung genannt und ist im Allgemeinen sehr klein, sie wird in ppm (parts per million) angegeben. Die chemische Verschiebung ist offensichtlich für jedes Molekül, und jeden Kern innerhalb eines Moleküls unterschiedlich. Die Antwort auf resonante Einstrahlung wird also, wegen einer vom jeweiligen abgeschirmten Feld bestimmten Frequenz, spezifisch für die einzelnen Atome im Molekül sein. Führt man eine Fourier Zerlegung des abgestrahlten Signals durch, erhält man also einige Frequenzen, die sich durch Vergleich mit Referenzfrequenzen einzelnen Atomen zuordnen lassen wodurch Moleküle etc. bestimmt werden können.

ElektronenspinresonanzBearbeiten

Analog zur Kernspinresonanz kann man durch Einstrahlen von Mikrowellenstrahlung auch Übergänge in den Energieniveaus der Elektronen induzieren. In der ESR werden hierbei direkt Übergänge zwischen Zuständen mit verschiedener magnetischer Quantenzahl m_j gemessen, wohingegen in der Zeemannspektroskopie meist Übergänge zwischen Zuständen verschiedener Hauptquantenzahl beobachtet werden.

Die sich in einem konstanten Magnetfeld befindende Probe spaltet gemäß dem Zeemann-Effekt in 2j+1 Komponenten auf, wobei j von |l-s| bis |l+s| läuft. Die zu einem J gehörenden Auspaltung ist äquidistant mit \Delta E = g  \cdot \mu_B   \cdot B_0 mit g=1+\frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)} und B_0 Betrag des Magnetfeldes (Richtung von B sei z-Richtung). Für reinen Spinmagnetismus ist g=2 und j=s, d.h. m_j=m_s läuft in ganzzahligen Schritten von -s bis +s.

Strahlt man nun senkrecht zur Richtung von B ein magnetisches Wechselfeld \vec{B}_1 sin(\omega t) ein, so werden für die Resonanzbedingung \Delta E=\hbar \omega=g \mu_B B_0 die erlaubten Dipolübergänge mit \Delta m_j=\pm 1 induziert, d.h. die Strahlung wird absorbiert. Die zu verwendende Frequenz \omega_{Larmor}=\mu_B B_0 g/\hbarhängt von B_0 ab und liegt für Magnetfelder von 0,1 T bis 1 T im GHz-Bereich (Mikrowellen).

Erzeugung der Mikrowellen: [1]

Man verwendet ESR z.B. zur Messung des g-Faktors des Elektrons.

In der ESR-Spektroskopie können nur Substanzen mit einem oder mehreren ungepaarten Elektronen untersucht werden. (Warum eig, könnten nicht auch Übergänge zw. verschiedenen l's induziert werden?

Analyse von KristallenBearbeiten

Aufgrund der Dipol-Dipol Wechselwirkung zweier Kernspins kommt es zu einer Verschiebung der Kernspinenergieniveaus, was sich wiederum im Spektrum der Resonanzen niederschlägt. Wegen der speziellen Form des Hamiltonians für dieses Problem ist es möglich innerhalb eines Kristalls den Abstand und die Richtung der Verbindungslinie zweier Atome zu bestimmen.

Theoretisch ergeben sich die Rechnungen der letzten beiden vorgestellten Phenomäne aus der zeitabhängigen Störungsrechnung für das System.

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