Rutherfordstreuung

Einleitung

Da die Streuexperimente Rutherfords Streuexperimente das heutige Bild vom atomaren Aufbau nachhaltig geprägt haben wird dem hier ein eigener Artikel gewidmet.

Das Experiment

Rutherford hat 1909 eine Goldfolie mit $\alpha$ -Teilchen beschossen und die Streuung beobachtet. Die meisten Teilchen detektierte er in einem kleinen Winkel um die Vorwärtsrichtung, es gab aber auch Streuung mit größeren WInkeln und vor allem gab es auch einige wenige rückgestreute $\alpha$ -Teilchen. Dies veranlasste Rutherford dazu in der Mitte der Atome ein massives, positiv geladenes Zentrum anzunehmen, das von einer Elektronenwolke umgeben wird und deshalb nur einen winzigen Bruchteil zum Atomvolumen beiträgt.

Der Rutherford WQ

Die Streuung konnte durch den Rutherfordwirkungsquerschnitt

$\left({d\sigma \over d\Omega}\right)_{Rutherford}= \frac{(Z\alpha^2)^2 (\hbar c)^2}{4E^2\sin^4\theta/2}$

sehr gut beschrieben werden. Rutherford konnte diese Formel klassisch herleiten, dies läuft analog zur Behandlung eines gravitativen Streusystems, das einer hyperbolischen Bahn folgt, mit entsprechend anderem Potential. für eine klassische Herleitung siehe z.B. Wikipedia. Da wir uns hier aber explizit für die Kernphysik interessieren, soll gezeigt werden, dass man mit gewissen Annahmen auch mit einer quantenmechanischen Rechnung auf diese Formel kommt.

Quantenmechanische Herleitung

Für $Z\alpha \ll 1$ kann man die Bornsche Näherung verwenden und nimmt die ein- und auslaufenden Elektronen als ebene Wellen an.

$\psi_i=\frac{1}{\sqrt{V}}e^{\frac{i\vec{p}\vec{x}}{\hbar}}\qquad \psi_f=\frac{1}{\sqrt{V}}e^{\frac{i\vec{p}'\vec{x}}{\hbar}}$

Für die Reaktionsrate $W$ gilt

$W=\frac{\dot N}{N_a\cdot N_b}=\frac{\sigma v_a}{V}= \frac{2\pi}{\hbar}\cdot\lVert\langle\psi_f\rVert H_{int} \lVert\psi_i\rangle\rVert^2\frac{dn}{dE_f}$,

(siehe Fermis goldene Regel) wo $dn(p)$ die Kugelschale im Phasenraum ist

$dn(\lVert \vec p\prime\rVert) =\frac{4\pi \lVert \vec p\prime\rVert^2\cdot d\lVert\vec p\prime\rVert V}{(2\pi\hbar)^3}$.

Wir setzen die Geschwindigkeit der Elektronen in guter Näherung $v_a = c$ und nehmen für den Impuls der gestreuten Elektronen $\lVert\vec p\prime\rVert \approx E'/c$ an. Da wir den Fall ohne Rückstoß betrachten, ist außerdem $dE_f=dE'=dE$. So erhalten wir für den differentiellen WQ

$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{V^2E'^2}{(2\pi)^2(\hbar c)^4}\lVert\langle\psi_f\rVert H_{int} \lVert\psi_i\rangle\rVert^2$

Der Hamiltonian der Wechselwirkung der Ladung mit dem Potential $\phi$ ist $H_{int}=e\phi$, so dass sich

$\langle\psi_f\rVert H_{int} \lVert\psi_i\rangle=\frac e V \int e^{-\frac{i{\vec{p}}'\vec{x}}{\hbar}}\phi(\vec x) e^{\frac{i\vec{p}\vec{x}}{\hbar}}d^3x$

ergibt, was mit dem Impulsübertrag $\vec q= \vec p-\vec p\prime$ zu

$\langle\psi_f\rVert H_{int} \lVert\psi_i\rangle=\frac e V \int \phi(\vec x) e^{\frac{i\vec{q}\vec{x}}{\hbar}}d^3x$

wird. Nun benutzen wir das Green'sche Theorem zur Umformung, denn dieses besagt für zwei beliebige skalare Felder $u$ und $v$, die in großer Entfernung hinreichend schnell abfallen

$\int u\Delta v d^3x = \int v\Delta u$.

Verwenden wir außerdem

$e^{i\vec q \vec x/\hbar}=-\frac{\hbar^2}{\lVert\vec q^2\rVert}\Delta e^{i\vec q\vec x /\hbar}$

folgt mit der Poisson Gleichung und einer Definition für die Ladungsdichte

$\Delta \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad \rho=Ze\cdot f(x)$

für das Matrixelement

$\langle\psi_f\rVert H_{int} \lVert\psi_i\rangle=\frac{Z\cdot 4\pi \cdot \alpha\hbar^3c}{\lVert \vec q\rVert^2 V}\int f(x)e^{i\vec q\vec x/\hbar} d^3x$.

Das Integral auf der rechten Seite ist die Fouriertransformierte der Ladungsverteilung, es wird Formfaktor $F(\vec q)$ genannt. Für die Rutherfordstreuung nehmen wir die Ladungsdichte nun als eine Deltadistribution an, der Formfaktor ergibt also konstant 1. Setzen wir das Matrixelement nun in den WQ ein finden wir

$\left({d\sigma \over d\Omega}\right)_{Rutherford}= \frac{4Z^2\alpha^2(\hbar c)^2E'^2}{\lVert \vec q\rVert^4 c^4}$.

Dies ist aber genau das gleiche wie die klassisch hergeleitete Formel, wie man sieht wenn man $\alpha$ einsetzt und beachtet dass

$\lVert \vec q\rVert=2\lVert\vec p\rVert \sin \frac \theta 2$,

wie auf dem Bild zu erkennen ist.