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Schalenmodell

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EinleitungBearbeiten

Wie schon bei den Atomen, bei denen man die energetisch nah beieinander liegenden Elektronen in einer Schale anordnete, existieren auch im Kern selbst für die Nukleonen diskrete Energieniveaus, die unter Berücksichtigung des Pauliprinzips aufgefüllt werden. Im Fall der Atome hatte man als äußeres Potential das Coulombotential des Kerns, wohingegen sich sie Nukleonen im mittleren Potential der übrigen Nukleonen bewegen (Man erhält dieses mittlere Potential z.B. durch Hartree-Fock).

Magische ZahlenBearbeiten

Bei bestimmten Protonen- und/oder Neutronenzahlen (2,8,20,28,50,82,126) treten bei Kernen immer wieder lokale Maxima in der Bindungsenergie auf, also besonders stabile Zustände, die nicht mithilfe Massenformel erklärt werden können. Ist die Neutronen/Protonenzahl "magisch", so erfordert es viel Energie ein Neutron/Proton aus dem Kern herauszulösen. Als besonders stabil erweisen sich doppelt-magische Kerne, die sowohl eine magische Neutronen, als auch eine magische Protonenzahl aufweisen. Diese experimentell gefundene Situation erinnert an Elektronen in der Atomhülle, bei denen bei abgeschlossenen Schalen ebenfalls eine besonders hohe Separationsenergie auftritt (Edelgase). Um dies zu erklären, kann man nun wie schon bei den Atomen, wieder ein Schalenmodell für Nukleonen einführen.

mittleres PotentialBearbeiten

Um auf eine eventuelle Schalenstruktur zu kommen, brauchen wir zunächst ein Potential mit dem wir rechnen können. Wegen der kurzen Reichweite der Kernkraft wird dieses mittlere Potential, das für 1 Nukleon von allen N-1 übrigen erzeugt wird, der Dichteverteilung der Nukleonen entsprechen. Da die Nukleonen in der Kernmitte von allen Seiten her die gleiche Kraft erfahren, sollte das gesuchte Potential auf jeden Fall in der Mitte flach sein.

Harmonisches PotentialBearbeiten

Nähert man dieses mittlere Potential harmonisch, so erhält man aus der Entartung der Energieniveaus E = (N+3/2) \hbar \omega schon die ersten 3 magischen Zahlen richtig:

N = 2(n-1)+l, wobei l die Drehimpulsquantenzahl ist (0,1,2,3,..) und n die radiale Quantenzahl (1,2,3..). Jeder l-Zustand ist nochmal 2l+1-fach m-entartet. Daher sieht man, dass der N=0 Zustand nicht, der N=1 Zustand 3fach und der N=2 Zustand 6fach entartet ist. Da in jedem Zustand 2 Fermionen Platz finden, ergeben sich die ersten 3 magischen Zahlen zu 2, 2+6=8 und 8+12=20.

Woods-Saxon-PotentialBearbeiten

Das Woods-Saxon-Potential <math>V(r) = -\frac{V_0}{1+\exp({r-R\over a})} bescheibt das "echte" Potential besser, da es für große r relativ schnell auf Null abfällt und so dem relativ scharfen Kernrand Rechnung trägt. Allerdings beschreibt auch dieses Potential nicht die magischen Zahlen >3.

Spin-Bahn-KopplungBearbeiten

Um die magischen Zahlen vollends erklären zu können, muss man die Wechselwirkungsenergie zwischen Spin und Bahndrehimpuls eines Nukleons berücksichtigen. Dies führt zu einem zusätzlichen \vec{l} \cdot \vec{s} Term im Potential und zur Quantenzahl j=l+s; s=+-1/2. Die dadurch hervorgerufene Energieaufspaltung \Delta E_{ls} steigt linear mit l an und führt bei großen l dazu, dass die von eigentlich höheren N-Niveas stammenden Terme herunterlunzen und daher die magischen Zahlen ändern. So ist z.B. das 1f-Niveau mit j=l+s=7/2 alleine für die magische Zahl 28 verantwortlich, da es von den übrigen Niveaus durch große Lücken getrennt wird. Magische Zahl: 28=20+2j+1.

Im Gegensatz zur Atomphysik, bei der die LS-Kopplung die nur kleine Feinstrukturkorrektur hervorruft, ist die LS-Korrektur des Kernpotentials in der Größenordnung der nl-Schalen.

Deformation der KerneBearbeiten

Bei der Herleitung der Energieniveaus im Kern haben wir ein Kugesymmetrisches Potential für die Nukleonen vorausgesetzt. Dies ist jedoch nur in der Nähe von abgeschlossenen Nukleonenschalen eine gute Näherung. Bei halbgefüllten Schalen werden die Kerne deformiert:

Wie können wir nun die Abweichung von der Kugelsymmetrie bestimmen?. Das Dipolmoment bringt nichts, da es sowieso wegen der definierten Parität der Nukleonwellenfunktionen verschwindet. Daher ist das el. Quadrupolmoment ein geeigneteres Maß für die Deformation. Experimentell stellt sich nun heraus, dass das Quadrupolmoment für Kerne mit magischen Zahlen sehr klein, weit entfernt davon ziemlich groß ist.

Erklärung : Beleuchten wir zunächst nocheinmal die [Hundsche Regel] aus der Atomphysik: Dabei werden die Orbitale zunächst mit jeweils einem Elektron gefüllt, sodass alle spinparallel sind, und erst dann werden die Orbitale mit einem 2. Elektron mit antiparallelem Spin belegt. Dies liegt daran, dass sie spinparallelen Elektronen sich aufgrund des Pauliprinzips nicht beliebig nahe kommen können und daher eine geringere Coulombenergie haben. Da sie sich außerdem in verschiedenen Orbitalen befinden, überlappen sie räumlich sowieso schon weniger, was die Energie nochmals absenkt.

Bei den Kernen ist jedoch genau das Gegenteil der Fall, da die Kernkraft hier weitgehend anziehend, und nicht wie die Coulombkraft abstoßend wirkt: Die Nukleonen ordnen sich hier in Paaren an, die die gleiche Ortswellenfunktion (l1=l2) haben und entgegengesetzen Gesamtspin (j1+j2=0, d.h. mj1=-mj2) {nochmal genauer beleuchten}. So sind sie nahe beieinander, was zu einer Energieabsenkung führt (Paarungsenergie). Um die Energie weiter abzusenken, besetzten sie außerdem bevorzugt benachbarte Orbitale, was zu Deformation führt.

Drehimpuls und Parität werden also nur durch die (höchstens 2) ungepaarten Nukleonen bestimmt (die gepaarten haben immer J^P=0^+ ).

Sind die Kerne ellipsoid deformiert, so muss man dies auch für das Potential annehmen. Die Berechnung der Energieniveaus wird dann aufwändiger, anstatt des Drehimpulses der Nukleonen ist hier nur dessen Projektion auf die Symmetrieachse des Kerns eine Erhaltungsgröße.

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