Stabilität der Kerne

Einleitung

Nur ein schmales Band in der $Z-N$ -Ebene aller möglichen Proton-Neutron Kombinationen stellt stabile Kerne dar. Hierbei muss beachtet werden, dass ein Nuklid (beliebige Kombination aus Nukleonen) als stabil bezeichnet wird, falls seine Lebensdauer länger als das Alter des Universums ist. Dies liegt am Zusammenspiel zwischen der Kernkraft zwischen den Nukleonen und der Coulombkraft zwischen den Protonen. Für die instabile Nuklide gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie sie in ein stabiles übergehen.

Die Nuklidkarte

Die Nuklidkarte ist ein Ordnungsschema für Nuklide, in dem diese in der $Z-N$ -Ebene aufgelistet sind. Die Nuklidkarte gibt Aufschluss über die Stabilität der Nuklide, dies wird oft durch Farben gekennzeichnet. Im Falle der sehr verbreiteten Karlsruher Nuklidkarte geben die Farben allerdings nicht die Lebensdauer, sondern den Zerfallsmodus an, wodurch man sofort auch das resultierende Nuklid finden kann.

Dabei kommt für leichtere Nuklide zunächst der $\beta^\pm$ -Zerfall in Frage. Bei einem Überschuss an Neutronen ist es für ein Nuklid energetisch günstiger über den $\beta^-$ -Zerfall

$n\quad\rightarrow\quad p+e^-+\overline{\nu}_e$

in ein Nulkid mit $Z'=Z+1$ überzugehen. Der $\beta^-$ -Zerfall bedeutet in der Nuklidkarte einen Schritt Diagonal nach links oben. Für ein Nuklid mit Protonenüberschuss gibt es den analogen $\beta^+$ -Zerfall

$p\quad\rightarrow\quad n+e^++\nu_e$.

Dies bedeutet auf der Nuklidkarte einen Schritt nach rechts unten, denn $Z'=Z-1$ und $N'=N+1$

Nur für Ladungszahlen bis $Z=20$ (${}^{40}Ca$) existieren stabile Nuklide mit $Z=N$. Für höheres $Z$ müssen um eine stabile Konfiguration zu erhalten mehr Neutronen als Protonen in einem Kern enthalten sein, weil dann die Coulombabstoßung der Protonen durch die Kernkraft kompensiert werden kann. Bei weiter steigender Massenzahl entstehen Nuklide die in energetisch günstigere Zustände übergehen indem sie in zwei Kerne zerfallen. Zunächst ist hierbei der $\alpha$ -Zerfall der relevante Prozess, bei dem neben einem weiteren Tochter-Nuklid mit $Z'=Z-2$ und $N'=N-2$ ein ${}^4He$ Kern, auch genannt $\alpha$ -Teilchen entsteht. Dieser Zerfall bedeutet natürlich auf der Nuklidkarte einen Schritt von zwei Feldern auf der Diagonalen Richtung Ursprung.

Erst bei Ladungszahlen $Z \gtrsim 110$ überwiegt die spontane Spaltung die Wahrscheinlichkeit für den $\alpha$ -Zerfall. Dabei sind die zwei resultierenden Nuklide etwa gleichschwer.

Für alle Zerfälle muss die Bedingung

$M(A,Z) > \sum M(A',Z')$

erfüllt sein.

Man kann die Form der Kurve der stabilen Nuklide in der Nuklidkarte auch direkt aus der Massenformel herleiten:

Die für feste Massenzahl A ist gerade jene Nukleonenkombination energieminimierend und damit stabil, für die die Masse M(A,Z) minimal wird. Um dise Konfiguration zu finden, leiten wir M(A,Z) nach Z partiell ab und setzten das ganze Null. Auflösen nach dem energieminimierenden Z* ergibt $Z^*=\frac{A}{1,98+0,015A^{2/3}}$. Man sieht, dass mit steigendem A die benötigte Zahl der Protonen Z abnimmt (relativ zu N), und somit gemäß A=N+Z die Neutronenzahl zunimmt.

Beta-Zerfall

Die Weizsäcker-Massenformel lässt sich umschreiben zu

$M(A,Z) = \alpha A- \beta Z+\gamma Z^2 + \frac\delta{A^{\frac 1 2}}$

mit den entsprechenden $\alpha, \beta, \gamma$ (vgl. Bindungsenergien), sie stellt dann also eine quadratische Funktion in $Z$ dar. Nun sind zwei Fälle zu betrachten.

$\beta$ -Zerfall in ungeraden Kernen

Wir betrachten also Kerne mit festem, ungeradem $A$, für die der Asymmetrieterm der Massenformel entfällt. In Abhängigkeit von $Z$ ergibt sich also eine Parabel, auf der die Massen aller Isobaren zu einem festen A liegen. Es gibt also ein Nuklid mit minimaler Masse, welches die Ladung $Z_0$ habe, in das alle anderen Isobaren zerfallen werden. Für Nuklide mit $Z<Z_0$ tritt $\beta^-$ -Zerfall auf, denn es ist gerade so die Zerfallsbedingung $M(A,Z)>M(A,Z+1)$ erfüllt. Da bei dieser Bedingung Atommassen betrachtet werden, ist das beim $\beta^-$ -Zerfall entstehende Elektron schon mitberücksichtigt. Für Nuklide mit $Z>Z_0$ tritt entsprechend $\beta^+$ -Zerfall auf. Dieser kann wegen $m_n>m_p$ nur in Kernen stattfinden, außerdem muss die Bedingung $M(A,Z)>M(A,Z-1)+2m_e$ erfüllt sein, denn es entsteht ein Positron und vom ursprünglichen Atom ist noch ein Elektron übrig.

$\beta$ -Zerfall in geraden Kernen

Für diesen Fall tritt der $\delta$ -Term in der Weizsäcker Formel auf und zwar mit unterschiedlichen Vorzeichen für uu- oder gg-Kerne. Betrachten wir also wieder die Masse $M(Z)$ für festes $A$, so ergeben sich zwei gegeneinander in y-Richtung verschobene Parabeln, die Obere für die Massen der uu-Konstellationen, die Untere mit den Massen der gg-Kerne. Ändert sich $Z$ um eins, so wird natürlich aus uu gg und umgekehrt, das heißt zwei benachbarte Isobare sind immer auf verschiedenen Parabeln.

Prinzipiell laufen nun die gleichen Prozesse zwischen Nukliden mit $\Delta Z=1$ ab wie für ungerade Kerne, nur dass es wegen der zwei Parabeln die Situation entstehen kann, dass ein gg-Kern mit nicht-minimaler Masse nicht zerfallen kann, weil die Massen der benachbarten ug-Nuklide beide höher liegen. Dieser Zustand könnte nur durch den doppelten $\beta$ -Zerfall

${}^A_ZX \quad \rightarrow \quad {}^A_{Z-2}Y + 2e^++2\nu_e$

in einen gg-Kern niedrigerer Masse zerfallen, was aber so unwahrscheinlich ist, dass das Nuklid als stabil angesehen wird.

Außerdem kann es auch der Fall sein, dass ein ug-Kern in zwei unterschiedliche gg-Kerne zerfallen kann.

Elektronen Einfang (Electron Capture - EC)

Dies ist ein zum $\beta^+$ -Zerfall konkurrierender Prozess. Da vor allem die Elektronen der K-Schale eine nicht verschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Kernort habenkann es dazu kommen, dass sie im Kern schwach wechselwirken

$p+e^-\quad\rightarrow\quad n+\nu_e$.

Vora allem bei schweren Atomen, deren Elektronenradien klein sind tritt dies auf. Der freie Elektronenplatz wird von Elektronen höherer Schalen aufgefüllt, dabei entsteht charakteristische Röntgenstrahlung. Für EC muss die Bedingung

$M(A,Z)>M(A,Z-1)+\varepsilon$

erfüllt sein, wobei $\varepsilon$ sie Anregungsenergie des Atoms ist. Es gibt Fälle, in denen wegen dieser Bedingungen nur EC, aber kein $\beta^+$ -Zerfall möglich ist.

Lebensdauern $\beta$ -instabiler Kerne

Die Lebensdauern variieren über einen großen Bereich, $ms<\tau <10^{16}a$.

Sie ist stark von der frei werdenden Energie abhängig $\tau^{-1}\propto E^5$.

Benachbarte Isobare sind nie stabil (höchstens extrem langlebig.

Ein Beispiel eines langlebigen $\beta$ -Strahlers ist ${}^{40}K$. Kalium ist ein Lebensnotwendiges Element, der Anteil an ${}^{40}K$ in natürlichem Kalium ist 0,01%, so macht es ca. 16% der natürlichen Strahlenbelastung aus.

Spektrum des Betazerfalls

Das Impuls-Spektrum des Elektrons/Positrons beim Beta-/+Zerfall ist kontinuierlich, da es sich um einen 3-Körper-Zerfall handelt. Die Verschienung des Beta-Plus-Spektrums hin zu größeren Impulsen kann man sich folgendermaßen erklären: Die Positronen werden vom Coulombfeld des Kerns beschleunigt, die Elektronen hingegen verzögert.