FANDOM


EinleitungBearbeiten

Die hohe Ordnung im Aufbau von Kristallen macht diese Festkörper einer mathematischen Beschreibung sehr gut zugänglich und bildet außerdem die Grundlage für viele Einsatzmöglichkeiten von Kristallen, z.B. als Analysatorkristall aufgrund der Bragg-Streuung.

Nah- und FernordnungBearbeiten

Die Nahordnung bezieht sich auf ein einzelnes Atom und seine Umgebung und ist z.B. durch die Bindungsverhältnisse, also Bindung an x unter dem Winkel y, gegeben. Sind diese Eigenschaften über dem gesamten Festkörper identisch, so ist seine Struktur überall gleich und translationsinvariant, dies bezeichnet man als Fernordnung. Kleine Abweichungen, beispielsweise der Bindungswinkel, die homogen im gesamten Material verteilt sind, sorgen dafür, dass sich keine Fernordnung ausbilden kann, dies ist charakteristisch für amorphe Festkörper. Nah- und Fernordnung werden auch durch Atomsorten, Orientierung der magnetischen Momente und anderen richtungsgebenden Parametern beeinflusst.

Das GitterBearbeiten

Wir werden zunächst nur ideale Kristalle behandeln, diese sind eine unendliche Aneinanderreihung von streng periodisch wiederkehrenden identischen Struktureinheiten. Diese Struktureinheit heißt Basis und kann zwischen 1 und 10^4 Atome enthalten. Reduziert man, der Übersichtlichkeit wegen, die Basis auf einen Punkt, so erhält man ein Puntgitter mit der Periodizität des Kristalls.

TranslationssymmetrieBearbeiten

Liegt der Ursprung in einem Gitterpunkt, so kann jeder weitere Gitterpunkt durch

\vec R=n_1\vec a_1 + n_2 \vec a_2 + n_3 \vec a_3

dargestellt werden. Hier sind n_i ganze Zahlen und die vec a_i Basisvektoren (haben nichts mit der Basis des Kristalls zu tun!!) eines Koordinatensystems, das an die Symmetrie des Gitters angepasst wurde. Das von den Basisvektoren aufgespannte Volumen ist eine Einheitszelle (Elementarzelle) des Gitters. Durch Aneinanderreihung von Einheitszellen kann der gesamte Raum ausgefüllt werden. Die Basisvektoren können natürlich unterschiedlich gewählt werden, um ihrem Zweck zu dienen. Beinhaltet eine Elementarzelle einen Gitterpunkt, so heißt sie primitiv, bei mehreren Gitterpunkten nicht primitiv.

PunktsymmetrieBearbeiten

  • Drehung

Bei Drehung um 2\pi/n ist das Gitter bei geeigneter Wahl der Drehachse wieder deckungsgleich. n=1 ist trivial, möglich sind n=1,2,3,4,6. Für den zweidimensionalen Fall lässt sich durch Betrachtung von 5- oder 8-zähligen Strukturen (regelmäßige 5- oder 8-Ecke) sehen, dass die Raumausfüllung nicht ohne Überlappung möglich ist, wie es für die Translationsinvarianz gefordert wird.

Weitere Punktsymmetrien sind

  • Spiegelung an einer Ebene
  • Inversion (Paritätstransformation), also (x,y,z)\rightarrow (-x,-y,-z)

KristallsystemeBearbeiten

Je nach dem welche Symmetrieeigenschaften ein Gitter erfüllt wir es in eines der folgenden Kristallsytsteme eingeornet.

Kristallsystem Gitterkonstanten (\lVert\vec a_i\rVert) Winkel (zwischen den Basisvektoren) Zähligkeit
triklin a\not=b\not=c \alpha\not=\beta\not=\gamma 1
monoklin a\not=b\not=c \alpha =\gamma=\pi/2\not=\beta 2
orthorhombisch a\not=b\not=c \alpha=\beta=\gamma=\pi/2 2 (2x)
tetragonal a=b\not=c \alpha=\beta=\gamma=\pi/2 4
hexagonal a=b\not=c \alpha=\beta=\pi/2, \gamma=2\pi/3 6
trigonal (rhomboedrisch) a=b=c \alpha=\beta=\gamma\not=\pi/2 3
kubisch a=b=c \alpha=\beta=\gamma=\pi/2 3 (4x)

Man kann in diesen Systemen Folgen erstellen, bei der das folgende System immer die Symmetrie des davorstehenden besitzt.

triklin\rightarrowmonoklin\rightarroworthorhombisch\rightarrowtetragonal\rightarrowkubisch

triklin\rightarrowtrigonal\rightarrowhexagonal

...orthorhombisch\rightarrowhexagonal

...trigonal\rightarrowkubisch

Bravais GitterBearbeiten

Oft kann man die volle Symmetrie des Gitters nicht durch eine primitive Einheitszelle ausdrücken. Um die höchstnögliche Symmetrie eines beliebigen dreidimensionalen Gitters zu erfassen, kann seine Elementarzelle durch eines der 14 Bravais-Gitter dargestellt werden. Diese gehören alle zu einem der oben eingeführten Kristallsysteme, mit teilweise primitivem Aufbau und verschiedenen Möglichkeiten des nicht-primitiven Aufbaus.

Bravais.jpg

Einfluss der BasisBearbeiten

Bisher wurde die Struktur der Basis(atome) vernachlässigt. Sie trägt aber natürlich zur Symmetrie des Kristalls bei. Es stellt sich heraus, dass die Basis die gleichen Symmetriebedingungen wie das Gitter erfüllen muss, damit die volle Symmetrie erhalten bleibt. Je nach dem, wie gut dies erfüllt ist ergeben sich innerhalb eines Kristallsystems deshalb noch verschiedene Kristallklassen. Das kubische System spaltet sich beispielsweise in 5 Klassen auf.

Penrose.gif

Penrose Muster [1]

Cluster & QuasikristalleBearbeiten

"Verbotene" Symmetrien, also z.B. eine fünfzählige Struktur werden in bis zu 1000 Atome fassenden Clustern realisiert. Auch makroskopische Kristalle mit solchen Symmetrien wurden gefunden, und schienen den Regeln zu widersprechen, Es zeigte sich aber, dass diese Quasikristalle verschiedenen nicht-identischen Struktureinheiten bestehen. In zwei Dimensionen kann dies durch das Penrose Muster veranschaulicht werden. Durch ein geeignetes Mischungsverhältnis (genau der goldenen Schnitt \Phi=(1+\sqrt 5 )/2) von zwei Rhomben mit verschiedenen Winkeln kann die gesamte Ebene bedeckt werden und es bilden sich 10-zählige Symmetrien aus. Das entstehende Gitter ist allerdings nicht translationsinvariant, was auch schon durch das irrationale Verhältnis der veschiedenen Elementarzellen zum Ausdruck kommt.

Einfache BeispieleBearbeiten

Bevor nun einfache Kristalle mit Eigenschaften und Auftreten besprochen werden, müssen noch zwei Begriffe eingeführt werden.

  • Man betrachtet die Atome, die in einer Elementarzelle liegen als sich berührende Kugeln. Das Packungsverhältnis ist der Anteil des Volumens der Elementarzelle, der von den Kugeln ausgefüllt wird.
  • Die Zahl der nächsten Nachbarn zu einem bestimmten Atom des Gitters nennt man Koordinationszahl.

Kubische KristalleBearbeiten

Es gibt die Möglichkeiten eines primitiven, eines raumzentrierten und eines flächenzentrierten Gitters, jeweils mit verschiedenen Basen realisiert.

  • Primitiv (sc - simple cubic)
    • Einatomige Basis: Diese Struktur hat mit 0,52 ein sehr niedriges Packungsverhältnis, daher kommt es auch in der Natur nicht vor.
    • Zweiatomige Basis (Cäsium-Chloridstruktur): Diese Anordnung hat ein (je nach Radien der beteiligten Atome verschiedenes) größeres Packunsverhältnis und tritt auf in Ionenkristallen bei denen die verschiedenen Ionen ähnliche Radien haben, so z.B. beim CsCl.
  • Raumzentriert (bcc - body centered cubic)
    • Einatomige Basis: Packungsdichte 0,68, Vorkommen in Alkalimetallen, Eisen, Chrom, Barium u.v.a..
  • Flächenzentriert (fcc - face centered cubic)
    • Einatomige Basis: Bei dieser Struktur zählt man mit 12 die höchste Koordinationszahl. Daher ergibt sich mit 0,74 die höchstmögliche Packunsdichte. Die Struktur wird von den Edelgasen und vielen Metallen (Cu, Au, Ag, Ni,...) realisiert.
    • Zweiatomige Basis: Hier gibt es, je nach Lage der Basisatome wieder zwei mögliche Fälle. Bei der Natriumchloridstruktur liegen die Basisatome bei (0,0,0) und (1/2,1/2,1/2). Diese Anordung wird von Alkalihalogeniden mit verschiedenen Atomradien realisiert. Die zweite Möglichkeit ist die Zinkblende- (ZnS) bzw. die Diamantstruktur (Basis aus zwei C Atomen), wo die Basisatome bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4) liegen. So ergibt sich eine Struktur, bei der jedes Atom im Zentrum eines Tetraeders liegt, dessen Ecken ebenfalls mit Atomen besetzt sind. Durch diese Betrachtungsweise wird die dreizählige Symmetrie der Kubischen Strukturen besonders deutlich.

Hexagonale KristalleBearbeiten

Durch eine bestimmte nicht-primitve hexagonale Elementarzelle (hcp - hexagonal close packed) kann ebenfalls das größte Packungsverhältnis von 0,74 erreicht werden. Die Basisatome liegen dabei bei (0,0,0) und (2/3,1/3,1/2) und die freie Gitterkonstante ist auf c=a\sqrt{8/3} festgelegt. Diese Struktur wird bei Metallen wie Beryllium, Magnesium, Titan, Kobalt etc. beobachtet. Interessant ist, dass Kohlenstoff einmal stabil als hcp vorliegen kann (Graphit) und einmal metastabil als fcc (Diamant). Die Umwandlungszeit ist allerdings sehr sehr lange.

Dass zwei offensichtlich unterschiedliche Gitter zum exakt gleichen Packungsverhältnis führen, lässt sich gut anschaulich begründen. Legt man eine Ebene harter Kugeln aus und legt darüber eine zweite Ebene, so könnnen diese Kugeln jede zweite Mulde, die in der ersten Ebene zwischen je drei Kugeln entstanden ist besetzen. Eine dritte Ebene hat somit zwei mögliche Lagen. Erstens, genau über den Kugeln der ersten Ebene, was zum hexagonalen Gitter führt. Zweitens in die jeweils andere Mulde, sodass sich drei unterschiedliche Ebenen ergeben. Eine Aneinanderreihung dieser ergibt das fcc- Gitter, wobei die Raumdiagonale senkrecht auf den Ebenen steht.

Wigner-Seitz-ZelleBearbeiten

Betrachtet man beispielsweise die Elektonendichte in einer Elementarzelle, und zweitens wegen der Analogie zur Brillouin-Zone ist es günstig eine Elementarzelle zu wählen bei der der zugehörige Gitterpunkt, statt auf einer Ecke, im Zentrum der Zelle liegt. Eine solche Zelle ist die Wigner-Seitz-Zelle, die man wie folgt konstruiert. Auf den Verbindungslinien zu den nächsten Nachbarn eines Atoms (falls es die Zelle verkleinert werden auch die übernächsten Nachbarn zusätzlich verwendet), wird in der Mitte eine Ebene eingezogen. Diese Ebenen begrenzen die Wigner-Seitz-Zelle, welche primitiv ist und sämtliche Symmetrien des Gitters besitzt.

Struktur amorpher FestkörperBearbeiten

In einem idealen Kristall sind die Abstände zu den benachbarten Atomen in beliebiger Entfernung wohldefiniert. Als Funktion der Entfernung stellen sie bei bestimmten Abständen also \delta -Peaks dar. Bei amorphen Festkörpern ist diese Fernordnung eben nicht vorhanden. Um die Struktur dennoch zu beschreiben zu können führt man die Paarverteilungsfunktion ein, die die Wahrscheinlichkeit angibt, in einem bestimmten Abstand von einem Atom ein weiteres zu finden, also genau die Funktion, die eben für Kristalle beschrieben wurde. Bei amorphen Festkörpern sind die Peaks anfangs aufgrund der Nahordnung noch einigermaßen schmal, verbreitern sich jedoch mit zunehmender Entfernung, bis die Paarverteilungsfunktion schließlich konstant ist.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Pen0305c.gif&filetimestamp=20051101182038

Störung durch Adblocker erkannt!


Wikia ist eine gebührenfreie Seite, die sich durch Werbung finanziert. Benutzer, die Adblocker einsetzen, haben eine modifizierte Ansicht der Seite.

Wikia ist nicht verfügbar, wenn du weitere Modifikationen in dem Adblocker-Programm gemacht hast. Wenn du sie entfernst, dann wird die Seite ohne Probleme geladen.

Auch bei FANDOM

Zufälliges Wiki